Hidrológiai Közlöny 2005 (85. évfolyam)
1. szám - Szilágyi József: A diszkrét lineáris kakszkád modell kiterjesztése nem egész számú elemi tározókra
SZILÁGYI J.: A diszkrét lineári s kaszkád modell 39 Megjegyzendő, hogy az állapot-átmeneti mátrix [(10) és (16) egyenletek] folytonos és diszkrét alakja közti különbség annyiból áll, hogy a diszkrét alaknál At helyettesíti f-t (a t 0 = 0 választás mellett). Az is említésre méltó, hogy a bemenet-átmeneti vektor [ld. (18)] csak algebrai alakban írható folytonos bemenetekre definiálható. Az inhomogén kaszkád esetében a bemenet-átmeneti vektor első int(n) eleme megegyezik a homogén kaszkádéval. Az utolsó komponens újfent szukcesszív konvolúcióval nyerhető r.(A t) = -^g(At) = ~ r k. n-2 1-e-X J=o (kr) J ß amely algebrai átalakítások után a következőképp írható 1 - e~ k,i J (lcAt) J r.(A/) = - e j-o (k x ~k)j\ ' = 1 int(w) (25) r(At) = í A/r,(A/)--r, + 1(A/) k i = int(«) (26) amely így bemenetként szolgál a konvolúciós integrálban. A két másik tagra adott válasz konvolúció alkalmazása nélkül is azonnal megadható. Az így kapott három tag kombik rek'°T )dr jT(j,(k-k x)At)~j\ [(k-k x)At}>~ (22) (23) n > 2; k x * k Diszkrét időpontokban mintavételezett folytonos fizikai folyamatok modellezésénél sokkal realisztikusabb az a feltételezés, hogy a folytonos változó, jelen esetben vízhozam, két mintavételi időpont között lineárisan változik, mint az, hogy értékét a mintavételezési időpontokban ugrásszerűen növeli vagy csökkenti (ami a jel-adat rendszer központi feltételezése). Ezen, lineáris változás feltételezésére épített, diszkrét rendszert mintavételi-adat rendszernek hívják. Szilágyi (2003, 2004) a diszkrét lineáris kaszkád modell rendszer változóinak ilyen leírását adta. Az állapot-átmeneti mátrix változatlan marad a két adatrendszerben, nem úgy a bemenet-átmeneti vektor. A T(Af) bemenet-átmeneti vektor két külön vektorra esik szét, r, (At) -re, amely u(t + At) -re, ill. 1^2 (A/)-re, ami pedig tt(/)-re hat (Szilágyi, 2003). Egy lineáris változás megadásához triviálisan két adatra ill. megfigyelésre van szükség. Az operatív előrejelzési gyakorlatban a bemenet t + At -beni értékét általában a felső szelvényre készített előrejelzett vízhozam érték képezi. Ezen előrejelzések tipikusan egy még feljebb lévő szelvény előre jelzett értékeit igénylik, ill. annak hiányában a csapadék előre jelzett értékét. Szimulációs vizsgálatoknál ez azt jelenti, hogy az alsó szelvény modellezett értékéhez mindig meg kell adni a felső szelvény azonos idejű pillanatnyi vízhozam értékét. Az inhomogén kaszkád két bemenet-átmeneti vektorának első int(n) eleme ismét változatlan marad a homogén kaszkádhoz képest r„ (AO = r, (At) - -i- r /+ 1 (At) / = u, in«*) m kAt és r 2 ((A0 = -J-r I+ 1(A0 kAt Ismételten, a két vektor utolsó komponense szukcesszív konvolúcióval állítható elő. Kihasználva azt a megfigyelést, hogy egy lineárisan változó bemeneti jel esetén (18) jobb oldalának második kifejezése három tényezőre bomlik, amelyek közül kettő konstans bemeneti értéket tartalmaz (Szilágyi, 2003), elégséges meghatározni a homogén kaszkádnak az ST, T € [/,/ + A/] -re adott válaszát (s a bemenet konstans meredeksége a At időintervallum alatt), r( At )-t, ami a következőképp néz ki: nálásával és némi algebrai átalakítással a két bemenet-átmeneti vektor utolsó komponense a következőképp írható ,-k xöj és At a-ß1 n"+l (At) r,„.(A0 = r.(A/)-r I n.(A0 2 n ahol a = \ + e"'"(k xAt-\) k H(At) J jT(j,(k-k xm-j\ [(^-AjA/y (27) (28) (29) (30) jl\(k,-k)(j-\)\ Végezetül, a (7) kimeneti egyenlet H vektorában k-t k, váltja fel az inhomogén kaszkád esetében. Eredmények és következtetések Amint azt korábban említettük,, a kaszkád impulzus válaszát úgy kaphatjuk meg, hogy az állapot-átmeneti mátrix első oszlopának utolsó elemét a kaszkád utolsó elemi tározójának (függetlenül, hogy az teljes vagy tört) tározási együtthatójával szorozzuk. Hasonlóképpen eljárva a bemenet-átmeneti vektorral (ill. vektorokkal a mintavételi-adat rendszerben), a kaszkád átmeneti válasza nyerhető. Az 1. és 2. ábra a homogén valamint az inhomogén kaszkád dimenziómentes impulzus-válasz ill. átmeneti-válasz függvényeit mutatja be különböző nem egész n értékekre. Az ábrák a két kaszkád rámpa válaszát is tartalmazzák u(0) = 0 ill. s = 0.1 választással. A homogén kaszkád rámpa-válasz függvénye (24) és (25) segítségével lett számolva, míg ugyanez a (27)(30) alkalmazásával történt az inhomogén kaszkádnál. Megállapítható, hogy minél közelebb van n értéke egy egész számhoz, annál jobb a két modell közötti illeszkedés. Természetesen, amikor n természetes szám, a két modell eggyé válik. Hasonlóan, minél nagyobb az n értéke, annál közelebb van a két kimenet egymáshoz. Következésképp, a tört-dimenziójú homogén kaszkád közelítése egész dimenziójú inhomogén kaszkáddal annál jobb, minél kisebb az |n - int(n)| eltérés, ill. minél nagyobb magának az n-nek értéke. Tört-dimenziójú kaszkád alkalmazásának gyakorlati jelentősége abból a megfigyelésből ered, hogy n optimalizált értéke vízhozam adatok alkalmazásával általában kicsi marad. Ennek oka az, hogy egy adott folyószakaszra az átlagos levonulási időt, 7", a homogén kaszkád paramétereivel az n/k összefüggés adja. n értékének növelésével, T-t konstansnak hagyva, az árhullám egyre kevésbé laposodik el, sőt megfelelően nagy n értékekre, az egyre csúcsosabbá válik.
