Hidrológiai Közlöny 2004 (84. évfolyam)
3. szám - Barabás Béla–Kovács Sándor–Reimann József: Növekednek-e az árvizek?
2 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2004. 84. ÉVF. 3. SZ. el x, -vei. Ha X 2 = X k , akkor r 2 = k • Ezt az eljárást folytatva minden megfigyelésre, megkapjuk az időrendben történt megfigyelések rangját. Helyettesítsük most az eredeti megfigyeléseket az indexükkel és írjuk mindegyik alá a rangját. Ekkor a következő táblázatot kapjuk: (III) 1 2 A A rnJ Amennyiben az eredeti idősorban növekvő trend érvényesül, akkor a nagyobb indexhez általában nagyobb rang társul, ezért ésszerű a következő statisztika használata: (1) d = (r l -1) 2 + (r 2 - 2) 2 + A + (r n - nf Nyilvánvalóan minél inkább növekvő tendencia érvényesül a megfigyelt sorozatban, annál kisebb a d statisztika értéke. Kimutatható, hogy abban az esetben ha az idősorban nincs trend, akkor nagy n értékre a d statisztika aszimptotikusan normális eloszlású E[d]= várható értékkel, és 6 (3) + szórással, (lásd Lehman [2] p. 292). Mint említettük, a d statisztika aszimptotikusan normális eloszlású, mégis meglepő módon, nem szükséges, hogy n igen nagy legyen. A (2) és (3) formulák már n > 10 esetén jól használhatók. Alkalmazzuk a fenti statisztikát a Tisza Szolnoknál mért 850 cm feletti árvizeire: Tetözís [cm] 884 894 880 856 853 855 881 909 880 904 879 885 897 974 1041 Sorszám I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Rang 8 I0 5 3 I 2 7 13 6 12 4 9 11 14 15 Rövid számolással kapjuk, hogy a d statisztika értéke d = 250. Mivel n = 15 a (2) és (3) formulákból kapjuk, hogy (4) E[d] = 560 és D[d] = 149,6. Esetünkben tehát, ha igaz az a hipotézis, hogy nincs trend az adatsorban, akkor 95 % valószínűséggel a d statisztika az (5) (E - 2D ; E + 2D)= (260,8 ; 859,2) intervallumba esne. Jelen esetben azonban a d statisztika aktuális értéke kívül esik, mégpedig kisebb, mint az (5) alatti konfidencia intervallum alsó határa, ezért elutasítjuk azt a hipotézist, hogy nincs trend, és helyette azt az ellenhipotézist fogadjuk el, hogy növekvő trend van. Vizsgáljuk meg most ugyanezt a hipotézist egy másik statisztikai próbával. Általánosan elterjedt a Student-féle kétmintás í-próba használata. Most azt a hipotézist vizsgáljuk, hogy egyenlőnek tekinthető-e az 1895 és 1967 között észlelt nagyárvizek átlaga az 1970 és 2000 között észleltek átlagával. Az 1895 és 1967 között észlelt nagyárvizek átlaga x x =866,25, szórásnégyzete cr, 2 =429,9- Az 1970-2000 közt észlelt nagyárvizek átlaga x 2 = 920,38. szórásnégyzete aj = 2936,9 • A Student-féle /-statisztika értéke: (6) f r y^-3 73 Az «= 15 esetén a 95 %-os szignifikancia szinthez tartozó kritikus érték t L = 2 04 • Mivel a statisztika aktuális értéke méghakrit 9 ladja ezt a kritikus értéket, elutasítjuk azt a hipotézist, hogy az átlagok megegyeznek. Az utolsó 30 év nagy árvizeinek átlaga szignifikánsan nagyobb, mint az 18951967 időszaké. Szemléletessé tehetjük a növekvő tendenciát a. Waldféle egyenessel, amelyet a következő módon készítünk: Az x-tengelyen az időpontot, az y-tengelyen a tetőzési értéket ábrázolva, a kapott pontfelhőt osszuk két részre, és mindkét részhalmaznak számítsuk ki a súlypontját. 2. ábra =1947; jp, = 866,25 x 2= 1985,5; y 2 =920,38 Az ; jJ és (j ) pontokon átmenő egyenes iránytangense: 920,38-866,25 tga = = 1,41 1985-1947 Ezután kiszámítjuk a teljes ponthalmaz súlypontját: (*;>0= (1966,25 ; 893,22)Megszerkesztjük az (xjj?) ponton átmenő 1,41 iránytangensű egyenest, amelynek egyenlete >- = l,41x-1879 ami egy erősen emelkedő egyenes. A módszer fontos tulajdonsága, hogy általa adható a legszűkebb konfidencia intervallummal az y tetőzési értékre becslés egy rögzített x érték esetén. Egy általánosan elterjedt módszer a trend vizsgálatára a legkisebb négyzetek módszerével számított regressziós egyenes. Ennek egyenlete adataink alapján (7) y = 1,071.x —1209Ez ugyancsak emelkedő egyenes, amely a növekvő trendet mutatja. Ez az az egyenes, amelytől az ábrázolt pontok ordinátáinak négyzetes eltérése átlagban a legkisebb. A különböző módszerek bemutatásával mindössze annyi volt a célunk, hogy megmutassuk, többféle statisztikai módszer is egyértelműen jelzi a nagy árvizek növekvő tendenciáját. Mit hoz a jövő a nagy árvizek területén? Az alkalmazott matematikai statisztikai módszerek tükrében tehát a nagy árvizek viselkedésében határozott növekvő trend érvényesül. Természetesen merül fel a kérdés, hogy a jövőben meddig tart ez a trend, pl. a következő 50 évben Szolnoknál hány 850 cm feletti árvíz várható, továbbá, hogy a legnagyobb tetőzés várhatólag mekkora lesz és mennyi ideig tart. Ezeknek a kérdéseknek a megválaszolásához az összes regisztrált árvíz idősorához kell fordulnunk. Látni fogjuk, hogy a korszerű metszék-módszer alkalmazásával ezekre a kérdésekre reális válasz adható. Hozzá kell ten1060 1040 1020 1000 980 960 940 920 900 880 860 1900 1920 1940 1960 1980 2000
