Hidrológiai Közlöny 2004 (84. évfolyam)
3. szám - Barabás Béla–Kovács Sándor–Reimann József: Növekednek-e az árvizek?
6 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2004. 84 . ÉVF. 3. SZ. Az árvizek közötti időszakok átlaga 351 nap (« 1 év). A szórás 482 nap, ami igen nagy. A relatív szórás 37. mivel ez lényegesen nagyobb, mint 1, ezért az x árvizek közötti szünetek nem lehetnek exponenciális eloszlásúak. Ilyenkor érdemes megvizsgálni a Pareto II eloszláshoz való illeszkedést. A Pareto II eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: < 3 2> F(x) = 1 - í———T *>()• W + *; Ennek várható értéke:- a szórása: - I d . Alkalmazva a szolnoki adatokra a várható érték és szórás alapján: a = 1137,24 és p = 4,24 értékek adódnak. Az árvizek közötti szünetek eloszlásának illeszkedését a Pareto II eloszláshoz x 2 próbával ellenőrizzük: , (47-45,2? (21-22,04)' (16-18.29) 2 (15-12,25)* 45,2 22,04 18,29 15,25 " ' Mivel az 1 szabadságfokú x 2-eloszlás kritikus értéke 95 %-os szinten x 2bn = 3,84, ezért az eloszlást elfogadjuk Pareto II eloszlásnak. Rekordok közti időtartam, a rekordok növekedése A 3. táblázat Szolnokra vonatkozó részéből kiolvashatjuk az egyes rekordárvizek között eltelt idő hosszát (években mérve), valamint a rekordok növekedésének mértékét (cm-ben). 3. táblázat Az adatok alapján átlagosan 15 és fél év szünet van a rekord méretű árvizek között, amelyre 70 %-os konfidencia intervallum: (3,5 év ; 27,4 év), összefoglaló következtetések a) Jelen tanulmányban egy adott c-szint, általában az elsőfokú készültségi szint túllépésének nagyságát és tartósságát vizsgáltuk kiindulásul. Az árhullám mindkét jellemzője exponenciális eloszlású, más-más paraméterekkel. (1) X: F(x) = l-e""; X: G(y) = 1 -e"• Az X túllépés és a hozzá tartozó Y tartósság között szoros korreláció áll fenn (pl. Szolnoknál p = 0,85). A kapcsolat jellemezhető lineáris regresszióval (Y = 0,16.X + 4). Ennek alapján a tetőzés ismeretében az árvíz levonulási ideje jól becsülhető. Az X túllépés s a hozzá tartozó Y tartósság együttes kétváltozós eloszlásfüggvénye a (2) H(x,y) = p • min{F(x),G(>>)} + 0 - p)F(x)G(y) függvénnyel átlagosan 1 % pontossággal becsülhető. Ennek alapján nagy pontossággal kiszámítható az árvízi terhelés alapjául szolgáló (3) P(X > x, Y > y) = 1 - F(x) - G(y) + H(x,y) valószínűség, továbbá az Y tartósság feltételes eloszlásfüggvénye, várható értéke, szórása. b) A metszék módszer alkalmazásával az 1 %-os meghágású mértékadó árvízszint átlag 70 cm-rel nagyobbnak adódott a Tiszán, mint a jelenlegi mértékadó szintek. A főbb vízmércéken az eltérést az alábbi táblázat mutatja: 4. táblázat Vízmérce Jelenlegi MÁSZ [cm] Metszék módszer szerinti MÁSZ Eltérés Eddig észlelt maximum Tivadar 929 987 58 1014 Vásárosnamény 985 1056 71 941 Tokaj 915 994 79 928 Tiszafüred 815 852 37 881 Kisköre 933 1043 110 1030 Szolnok 961 1060 99 1041 Csongrád 971 1048 77 994 Szeged 971 1007 36 960 Átlag = 70,88 Szórás = 24,89 Az átlag 70 cm eltérés (ez a 70 cm hiányzik a gátakról!) oka, hogy a jelenlegi mértékadó szinteket korábban az évi legnagyobb vízállások sorozata alapján számolták. Az évi legnagyobb vízállások között kb. 40% nem árvíz, viszont azon évekből, amelyekben 2 vagy 3 árvíz is előfordult, csak egyetlen adatot használtak fel. Ilyenformán az évi legnagyobb vízállások adatsora nem reprezentatív minta az árvizek tetőzéseire. Az elmúlt 100 év évi legnagyobb vízállásainak átlaga mintegy 100 cm-rel kevesebb, mint az észlelt árvízi tetőzések átlaga. c) A rendezett minták elméletének alkalmazása az exponenciális eloszlásra lehetővé teszi, hogy a legnagyobb túllépés várható értékét és szórását becsüljük: (4) /) = líül, ahol ^ = I, Szolnoknál X = 0,01.. Ez "A x azt jelenti, hogy pl. 2050-ig, amikor is n = 150 a legnagyobb túllépés várható értéke 50lem, tehát a legnagyobb tetőzés várható értéke: £(7^*) = 501 + 650 = 1151 cm. d) Az árvizek rekord-értékeinek eloszlásával az irodalomban nem nagyon találkozhatunk. Rényi A. [6] dolgozatában kimutatta, hogy n elemű mintában a rekordok (minden előzőnél nagyobb megfigyelések ^ számának várható értéke, ha n elég nagy: £k]=ln/7 és szórása: Alkalmazva a szolnoki 100 árvízre: In 100 « 4,61 adódik, miközben a ténylegesen észlelt rekordok száma 5. A szórás ismeretében konfidencia intervallum is készíthető: 70 %-os szinten lnn± Vín". 3232 n = 10 0 esetén (4,61-2,15 ; 4,61+2,15) = (2,46 ; 6,76). Meghatároztuk a rekordok közötti ugrások, növekmények valószínűség-eloszlását (Reimann [5]), amely arra a meglepő eredményre vezetett, hogy az n-edik és n-l-edik rekord különbségének eloszlása: ÉÁ Különbség A rekord értéke Különbség 1830 684 1855 25 739 55 1876 21 753 14 1879 3 763 10 1881 2 764 1 1888 7 818 54 1895 7 827 9 1919 24 882 55 1932 13 894 12 1970 38 909 15 1999 29 974 65 2000 1 1041 67 Átlag: 15,45 32,45 Szórás: 11,98 24,93
