Hidrológiai Közlöny 2004 (84. évfolyam)
3. szám - Barabás Béla–Kovács Sándor–Reimann József: Növekednek-e az árvizek?
4 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2004 . 84. ÉVF. 3. SZ. A H 0 hipotézis elfogadásáról vagy elutasításáról a x 2próba alapján döntünk 95 %-os szignifikancia szinten. Ezért kiszámoljuk az elméleti gyakoriságokat: />, = P(X < 50) = 1 - = 0,3935 N P i =39,74 p 2 = P(50<X< 100) = 0,2356 Np 2 = 24 p^ = P{\ 00 <c X < 150) = 0,1448 Np, =14,62 p 4 = P(\ 50 < X < 200) = 0,0878 N P i =8,87 p, = P(200 < X) = 0,1353 Afc, =13,67 A statisztika: ^iíü^JUs, w Afc, Mivel a 3 szabadsági fokú x 2- eloszlás kritikus értéke 95 % -os szignifikancia szinten x kni — 7,81, nincs okunk elvetni a hipotézist, azaz a túllépések eloszlását elfogadjuk exponenciálisnak. Az 1 %-os túllépési szint meghatározásához a (9) P(X >x 0) = e~ oo u'' = 0,01 egyenletet kell megoldani, amely: (10) x 0 = 447 Ebből következik, hogy az 1 %-os tetőzési szint 650 + 447 = 1097 cm. Ez az átlagosan 100 árvizenként előforduló meghágási szint. Felmerül a kérdés, hogy mennyi a valószínűsége a 850 cm-t meghaladó árvíz előfordulásának. A (8) egyenlet alapján erre a kérdésre könnyen válaszolhatunk: (11) (11) P(X> 200) = e 2 = 0,127 Következésképpen 100 árvíz során a 850 cm-t meghaladó árvizek várható száma: 100 x 0,127 «13. Érdemes ezt az elméleti eredményt összevetni az elmúlt évszázad tapasztalatával. A XX. században a 100 árvíz között 14 olyan volt, amelynek tetőzése meghaladta a 850 cm-t. A fentiek alapján a következő 50 évben nagy valószínűséggel 6-7 olyan árvíz lesz, amely meghaladja a 850 cm-t, hacsak nem történik lényeges emberi beavatkozás. A rekordok eloszlása Abból a tényből, hogy az adott c-szint feletti túllépés exponenciális eloszlású, további következtetéseket vonhatunk le. Az exponenciális eloszlásra könnyen alkalmazható a rendezett minták elmélete. Rendezzük nagyság szerinti növekvő sorrendbe az észlelt Xj túllépéseket: (12) x' <xj<A<.x^ A rendezett minta legnagyobb elemének eloszlásfüggvénye: (13) P(x;<x) = (l-e-*} A legnagyobb mintaelem (a legnagyobb túllépés) várható értéke: f1 1 ^ In« A legnagyobb mintaelem szórásnégyzete: < 1 4> £(*> l 1 — + n n — 1 + A +1 (15) 1 1 (w-1) 2 • +A +1 K 6Ä? Következésképpen a legnagyobb túllépés szórása. 06 1 Alkalmazva ezeket az eredményeket a Szolnoknál észlelt árvízi adatokra: 100 árvíz közül a legnagyobb túllépés várható értéke: lnl0 Q _ 447 vagyis a várható te0,01 tőzés 650 + 447= 1097 cm. A legnagyobb túllépés szórása: 128 cm. Ennek segítségével a legnagyobb tetőzésre a következő 95 %-os konfidencia intervallum adódik: (17) (l097 ±2o-) = (84lem; 1353cm) Szolnoknál az előző évszázad legnagyobb árvize 1041cm-en tetőzött (2000-ben), ami szerencsére fél méterrel kevesebb, mint a várható érték, de benne van a (17) alatti intervallumban. A legnagyobb túllépés tanulmányozásához vezessük be az % _ + z transzformációt. Tehát z jelentése, /l hogy a legnagyobb túllépés mennyivel haladja meg a várható értékét. (18) P(x\ In n . / <- + *) = (!-< -In_ 1Tehát a Gumbel-féle kettős exponenciális eloszláshoz jutottunk. Ha most például ki akarjuk számítani, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy a legnagyobb túllépés Szolnoknál 100 cm-nél jobban meghaladja a várható 447 cm-es értéket, azaz nagyobb lesz, mint 547 cm (ez 1197cm-es tetőzésnek felel meg), akkor z = 100 és (19) P(x'„ <447 + 100) = e-*"* = e""' = e" 0 367 9 = 0,6922 Ebből (20) P( x'„ >547) = 1-0,69 = 0,31Ez azt jelenti, hogy elég nagy a valószínűsége annak, hogy a jövőben bekövetkező árvizek között lesz olyan, ami az 1197 cm-t is meghaladja. Megjegyezzük, hogy az 1970-es években a mértékadó (1 %-os) árvízszinteket az évi legnagyobb vízállások alapján számolták. Az évi legnagyobb vízállások az elmúlt száz évben mintegy 40 százalékban nem érték el az árvízszintet (Szolnoknál 650 cm). Azokban az években pedig, amelyekben 2 vagy 3 árvíz volt, csak egyet vettek figyelembe, a legnagyobbat. Ilyenformán az évi legnagyobb vízállások adatsora nem reprezentatív az árvizek tetőzési értékeire. Az évi legnagyobb vízállások számtani közepe mintegy 60-80 cmrel alacsonyabb, mint a 100 árvíz tetőzésének számtani közepe, és ugyanez igaz az 1 %-osnak vélt mértékadó szintre is. Ezt az eltérést a Tisza igazolta az elmúlt néhány évben. A gátakról hiányzó 60-80 cm következményeit kellett elszenvednünk az utóbbi három évben. Az árvizek tartósságának valószínűségeloszlása és kapcsolata a túllépésekkel Elméleti megfontolások és gyakorlati tapasztalat szerint is egy adott c-szint feletti tartózkodási idők, az árvizek tartóssága ugyancsak exponenciális eloszlású. Az Y tartósság eloszlásfüggvénye:
