Hidrológiai Közlöny 2004 (84. évfolyam)
3. szám - Barabás Béla–Kovács Sándor–Reimann József: Növekednek-e az árvizek?
BARABÁS B. - KOVÁCS S. - REIMANN J. : NOvekednek-e az árvizek? 5 (21) G(y) = 1 - e~ P y • A ß paraméter vízmércénként változik. Szolnoknál a számítások szerint: ß = 0,05, azaz 100 éves idősorra a tartósság eloszlásfüggvénye: (22) G(y) = \-e-° 0 >r Az X túllépés és Y tartósság közötti korrelációs együttható: p = 0,85. Ez a magas korreláció lineáris kapcsolatra utal. A túllépések és tartósságok összetartozó értékeit a 6. ábra mutatja. Szolnok O 100 200 300 400 500 túlMpfts 6. ábra Az X túllépés és Y tartósság közötti kapcsolat jellemezhető a regressziós egyenessel, amely a következő képpen kapható: (23) y- p—^x + y - p—-x <y. a. Alkalmazva a Szolnoknál észlelt adatokra, mivel a túlléések átlaga x = ÍOI cm, szórása a^ - 86,1 cm valamint a tartósságok átlaga ^_20,5 n aP> szórása a -igg nap ezért a regressziós egyenes egyenlete: (24) y = 0,16*+ 4,34 Ez az egyenlet felhasználható arra, hogy becslést adjunk arra, hogy adott túllépés esetén meddig tart az árvíz. Pl. x = 250 cm túllépés esetén, ami 250 + 650 = 900 cm-es tetőzések felel meg, y = 0,16 * 250 + 4,34 = 40 + 4,34 » 45 nap . Természetesen az y értékek valószínűségi változók, ezért szóródnak a regressziós egyenes körül. Az X túllépés és Y tartósság együttes (kétváltozós) valószínűségeloszlása A metszék-módszer nagy előnye, hogy lehetőséget ad a túllépés és tartósság együttes kétváltozós függvényének becslésére. Régebbi dolgozatunkban kimutattuk: pozitív korreláció esetén az X túllépés és Y tartóság együttes eloszlásfüggvénye H(x,y) százalékos pontossággal közelíthető az F(x) és G(Y) vetület-eloszlásfüggvények konvex kombinációjával a következő módon: (25) H(x,y) = + (1 - p)F(x)G(y) ahol p az X és Y változók közötti korrelációs együttható, F(x) = 1 - e~ m» G(y) = \-e~ ß yAlkalmazva ezeket a formulákat a Szolnoknál észlelt adatokra, a következő összefüggéshez jutunk: (26) P(X <x,V<y)= ff(x,y) = 0,85min {l - <r°'°", 1 - e" 0 0 5*}+ + 0,1 s(l - c" 0,0 1* )(l - e~°'° > y ) Ez a képlet látszólagos bonyolultsága ellenére egyszerűen használható. Rajzoljuk be a túllépések és tartósságok együttes értékeit ábrázoló ponthalmazba az F(x) = G(y) kvantilis-görbét. Mivel mindkét eloszlás exponenciális, ezért az (27) 1 - = 1 - e' m egyenletből ßy = ax, vagyis (28) ,. = a x_i x_ ^ origón átmenő egyenes y~ ß ~E(X) X adódik, amelynek iránytangense a várható értékek hányadosa. Behelyettesítve a szolnoki adatokat kapjuk: (29) y = 0,24x Szolnok 100 400 500 200 300 túllépés 7. ábra Amennyiben az (x,y) pont a 7. ábrán az egyenes felett van, akkor min{F(x),G(.y)}= F(x), ellenkező esetben: min{F(x),GOO} = CO')Nézzük meg például hogyan lehet kiszámolni annak az eseménynek a valószínűségét, hogy Szolnoknál az árhullám tetőzése nagyobb mint 850 cm, a tartósság ugyanakkor nagyobb mint 60 nap. A 850 cm-es túllépés a c = 650 cm szintválasztás miatt x = 200 cm-nek felel meg. (30) p(x >x,Y>y) = l- F(x) - G(y) + H(x,y). azaz (31) P(X> 200, Y > 60) = 1 - F(200) - G(60) + H(200,60) = 1 - 0,86 - 0,95 + 0,854 = 0,044 mert F(200) = 1 - e" = 1 - e" 2 =0,86G(60) = 1 - e" 0 0 5' 6 0 = 1 - e' 3 = 0,95 és ff (200,60) = 0,85 * 0,86 + 0,15 » 0,82 = 0,854 Látjuk tehát, hogy annak valószínűsége, hogy egy ilyen nagy árvíz legalább két hónapig tartson, több mint 4 %, ami nem elhanyagolható. Az árvizek közötti időszakok hosszának valószínűség-eloszlása Jelölje most az X valószínűségi változó a két egymás utáni árvíz között eltelt napok számát. Ugyancsak a szolnoki adatok alapján a gyakorisági hisztogram: 8. ábra 50 40 30 20 10 0 0-180 180-360 360-720 720-
