Hidrológiai Közlöny 2003 (83. évfolyam)
4. szám - Biri Salah–Holnapy Dezső: Egy általánosított kaszkád-modell és alkalmazása
240 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2003. 83. ÉVF. 4. SZ. (9) A{X)B{X)=£ ^bjx'+J i=0 j=0 A karakterisztikus polinomok szorzatának együttható-sorozata, a (7) szumma sorozatával megegyezik. A (9) szorzat-polinom együtthatóiból képzett sorozatot az eredeti sorozatok konvolúciójának nevezzük. Ha a folytonos függvények konvolúciójával keressük a kapcsolatot, nem érdektelen a (7) szummáit a (10) l \f,(T).f 2(t-X)Jz A lényeg, hogy valós szám-sorozatok konvolúcióját mátrix-sorozatok vektor-sorozattal képzett konvolúciójára lehet teljes egzaktsággal általánosítani. 4. A módszer alkalmazása kútcsoportokra 4.1. Feszitett tükríí kútrendszer differenciálegyenletrendszere A leszívás és vízhozam kapcsolta Dupuit elv szerint: (11) Sjí = a ß q j ahol integrállal összekapcsolni [Kármán 1967], Innen származik a gondolat, hogy folytonos függvények helyett inkább numerikus sorozatokkal [Holnapy 2003] dolgozzunk. A fentiekkel azonos eredményre lehet jutni (felső) háromszög mátrixokkal [ Vágás 1969, Vágás 1970] a konvolúció fogalmának bevezetése nélkül. 3. A lineáris tér és a gyűrű alatti vektor-modulus A lineáris tér fogalmát a műszaki szakirodalom szűkebben értelmezi, mint a matematika [Reinhard] A matematika a teret modulusnak jelöli meg, amely egy gyűrűvéI külső kapcsolatban van. (A modulus algebrai struktúrában értelmezve van egy belső kapcsolat, azaz művelet az elemek között, létezik neutrális és inverz elem. A gyűrű algebrai struktúrában értelmezve van két művelet: az egyik egy neutráliselemes asszociatív művelet, a másik e tulajdonságokon kívül kommutatív is, és minden elemnek az inverz-eleme is a struktúra halmazához tartozik, továbbá az első a másodikra nézve disztributív). A szűkebb értelmezés a modulus elemeit ndimenziós vektornak, a gyűrűt a valós számtestnek veszi, s a külső kapcsolatot a vektorok skalárral való szorzásként értelmezi. Lehet azonban az n-ed rendű négyzetes mátrixok gyűrűjével létesíteni a külső kapcsolatot, és azt mátrixnak vektorral való szorzásaként értelmezni. Az így létrehozott lineáris teret a 3. ábra foglalja össze. Q operátor tartom íny (gyűrű) 1 külső kapcsolat belső kapcsolatok: M (modulus) a, /?« O, a, be M 1.)aX(a + b)"=aXa + <zXb 2.) (a®ß) X a - a X * + ß X a 3)(a«/l)ii«ai(jJlii) 4.) tli-i 3. ábra. Az „általános" lineáris tér. (12) In R-In rß a fi = 2ji.kjn a ß =0 ha r ß < R ha r ß > R Jelöléseink jelentése a következő (4. ábra) VTSZ. i kút jjcút 4. ábra q ;: az i-edik kút vízhozama, Sjí: az i kútból kivett vízhozam hatására létrejövő leszívás aj kútban, S°: az egymásra hatásból kialakuló leszívás aj kútban, k: a talaj víz-áteresztőképességi együtthatója, m: a vízadó réteg vastagsága, r ß: a j és i kút egymástól való távolsága, R: a kút hatótávolsága. Az egymásra hatás következtében kialakuló leszívások n kút esetében a lineáris szuperpozíció elve alapján a következőképen adódnak: á7 = S n•S, r(13) s°j = sji" •••v• K = S n l^rw A fenti egyenletrendszer a permanens állapotot modellezi, azonban, ha a nem-permanens állapotot akarjuk modellezni, akkor figyelembe kell venni a leszívás idő szerinti deriváltját is, tehát az (11) egyenlet a következő formát ölti: (14) S J i+tkS J i=a J i.q l ahol tk a késlekedési idő. A (13) egyenletrendszert deriváljuk idő szerint, (15) Sj = S II S li Sin •o • • • Sj =S ji S ji • • J" S n — S nl S ni S nn majd a (14)-et helyettesítve (13)-ba és felhasználva (15)öt, akkor megkapjuk a nem-permanens viselkedést magába foglaló egymásra hatási differenciálegyenletet:
