Hidrológiai Közlöny 2003 (83. évfolyam)

4. szám - Biri Salah–Holnapy Dezső: Egy általánosított kaszkád-modell és alkalmazása

BIRI SALAH - HOLNAPY D.: Egy általánosított kaszkád-modell 241 (16) Mátrix alakban: (17) S°+tk.Sj=Y,

aji

eli i=i j = l.n A (17) differenciálegyenlet általános alakja az alábbi közönséges lineáris inhomogén differenciálegyenlet: (18) O , d

S S + tk — = a.q dt A példában az egységnyi idő félnapnak felel meg, tehát dt = 1 (1/2 nap), tk = 2 (1 nap). Az adatokat [Almássy 1960] és [Biri 1996] cikkeivel azonosan vettük fel, hogy az eredmények összehasonlíthatók legyenek. A q vektor az említett cikkek (minden kútban) 7 m leszívásához tartozó permanens vízkivételek. A számpélda eredményei akkor jók, ha az új módszerrel 7 méteres leszíváshoz tartó görbéket kapunk. Oldjuk meg a (18) differenciálegyenletet úgy, hogy először 0 =< t <=V-nél q = / legyen, S(0) = 0 kezdeti feltétel mellett, majd t > 7-nél q - 0 legyen (egység-ok). Eredményként az alábbi egyenletet (egységhatás válasza) kapjuk: ahol S, q, és a lehetnek skalár mennyiségek vagy vektorok és mátrixok, mivel (ahogy majd látni fogjuk) a differenciálegyenlet megoldása nem változik ha skalárral vagy vektorokkal és mátrixokkal dolgozunk. Ezért kihagyhattuk a szumma és az index jeleket. 4.2 Számpélda Tekintsük a 5.ábra szerinti kútelrendeződést. (19) S = a S l-e'

k ,ik _i ha f < / -i ?'* ha í > / Bevezetjük az: (20) A, = a.v(t) jelölést, ahol (6. ábra) (20a) v(,) = v(r) = l-e'

k \ f 2 e'

k -1 ha t<l -í e'

k ha I>1 5. ábra. A kutak elrendezése Adatok: R = 1000 m, m = 5 m, k = 15,552 m/nap, a kutak sugarai r

ü = 0,0655 m, "0,01972 0,00246 0,00142 0,00046 0,00165" 0,00246 0,01969 0,00188 0,00032 0,00091 a = 0,00142 0,00188 0,01969 0,00142 0,00142 0,00046 0,00032 0,00142 0,01969 0,00164 0,00165 0,00091 0,00142 0,00164 0,01969 270,936' 278,432 q = 267,890 302,390 275,400 ahol a elemei nap/m

2-ben, q elemei pedig m

3/nap-ban vannak megadva. 6 .ábra, A kutak egység-hatásra kialakuló válasza. Képezzünk a (20a) függvényből egy sorozatot úgy, hogy leolvasunk dt időközönként v(t) értéket, (21) 1=0 t=! 1=2 1=20 v, =[ 0 0,3934 0,23865 . . . 0,00003] majd a (21)-et megszorozzuk az a együtthatókkal. Ekkor az egységhatás (22) válaszsorozatát kapjuk: (22) A

I=[A

0,A

I,A

2,-,A

2„] ahol A, elemei 5 * 5 elemű mátrixok. A tényleges ok sorozatot úgy kapjuk meg, hogy 10 napig (t = 20) legyen a megadott q, ezután megszüntetjük a vízkivételt, azaz: 1 = 0 1 = 20 1 = 21 1 = 26 '270,9361 I"270,9361 [öl \0 278,432 278,432 0 0 267,890 ... 267,890 0 ... 0 302,390 302,390 0 0 275,400 275,400 0 0 (23) If