Hidrológiai Közlöny 2002 (82. évfolyam)
2. szám - Darabos Péter–Holnapy Dezső: Vízellátó hálózatok kvázi-permanens viselkedésének modellezése
DARABOS P - HOLNAPY D.: Vizellátó hálózatok kvázi-peimanens viselkedése 77 Szerencsénkre nem kell minden taggal foglalkoznunk a továbbiakban. - Mivel most D 0, a (7) első somak első három tagja: 0 - Mivel G konstans elemű, a (7) első sorának negyedik és hatodik tagja. 0 - A (7) első sorának ötödik tagja a fentiek miatt. G JQ - Mivel G konstans elemű, a (7) második sorának második és harmadik tagja:fl. - Mivel F(Q, x) nem függ/>-től, a (7) negyedik tagja: 0 - A (7) második sorának első tagja a fentiek miatt G * dp - A (7) második sorának ötödik és hatodik tagja szorul bővebb vizsgálatra. Részletesebb vizsgálat tárgyát tehát a következő egyenletrendszer képezi: (8) OG* G d{F Q) = dO A könnyebb áttekintés érdekében megjegyezzük: dp a csomóponti nyomások megvaltozasait tartalmazza, dQ az ágak vízhozam változásait tartalmazza, és dq a vízbevezetések ill a fogyasztások megváltozásait tartalmazza. További vizsgálat tárgyát a (8) egyenlet második blokksorában lévő, parciális deriváltakat tartalmazó tagok képezik. Fejtsük ki a szorzatok deriváltjait. Az eredmény: (9) dl' 30 O + F (*r Q+ F*Q dx dx dx differenciálnak az ágra vonatkozó része így adja ki a következő, (8) beli ágegyenletet: (12) [dp k - d P j) + 2a\Q j k\dQ J k +dt = 0 Itt a dt kompatibilitási hiba, aminek esetünkben 0-nak kell lennie. A matematikai formalizmus nyitva hagy egy további általánosítási lehetőséget Most ugyanis kétvégű csőre vonatkozó, hagyományos egyenletet építettük be egyenlet-rendszerünkbe. A hipergráf fogalom lehetővé tenne "többvégü" hipercsövek alkalmazását is, amit a szakma zónának, körzetnek nevez. Ennek részleteit jelen cikkben nem munkaijuk ki 4.2. Szivattyú A szivattyú, vagy szivattyús ág egyenlete a csőszakasz egyenletének szerkezetével megegyező Nyilvánvalóan az előjelek mások, hisz itt nem nyomásesésnek, hanem nyomás-emelkedésnek kell fellépni A követhetőség érdekében a 2. ábrán feltüntettük egy csőszakasz és egy szivattyú által létesített nyomásdifferencia görbéjét a vízszállítás függvényében. Emelőmagasság / Veszteség [mvoj Figyelembe véve, hogy az F(Q.X) diagonálmátrix /-edik sorában a,'\Q\ + b, alakú kifejezés található (/ bármelyik sor lehet), így a (8) egyenletbeli együtthatómátrix jobb alsó blokkjának elemei a következők lesznek: (10) a\Q\ + a\Q\ + b = 2a\Q\+b 3. A csomóponti egyenletek A Kirchhoff első törvényét kifejező csomóponti egyenleteket a (2) egyenlet sorai tartalmazzák A G* mátrix soraiban az (1) szerint ott van +1, ahol a csomópontra illeszkedő ág pozitív vízhozama a csomópontba hozza, és ott van - I, ahol a csomópontra illeszkedő ág pozitív vízhozama viszi a vizet. (G* a vízellátó hálózatoknál szokásosan alkalmazott ún. kapcsolati mátrix negáltja.) A csomóponti betáplálás a pozitív, a fogyasztás a negatív, ahogyan azt az 1. ábra tartalmazza. így fejeződik ki a csomóponti egyensúly: amennyi víz érkezik egy csomópontba, annyi távozik. 4. Az általánosított ágegyenletek Általánosított ágakról beszélünk, ugyanis a modellben csak azt használjuk ki, hogy az ágakkal kapcsolatos egyenletek (3) alakúak, s ezért azok az együtthatók előjelétől függően jelenthetnek csőszakaszt, szivattyút, akár víztornyot is. 4.1. Csőszakasz "Egyszerű" csőszakasz esetében a (9) és (10) alapján a (8) egyenlet jobb alsó blokkjának fődiagonálisába: (11) 2a\Q\ kerül. Q itt az ág becsült vízhozama, amelyet lépésenként módosítani kell, ugyanis kvázi-permanens esetben a teljes 2. ábra Nyomásváltozás a szállított vízhozam függvényében. A szivattyú jelleggörbéje: (13) A(0 = -0.032Q 2 +0.545Q + 111.035 Jelen esetben a képletben szereplő h érték a követő csomópont nyomását növelni fogja, s így a nyomáscsökkenés negativ, mínusz h-t kell helyettesítenünk - s mint ahogyan a mintapéldában majd látni is lehet - a (8) egyenlet jobb alsó blokkjába t0.032*\O\ - 0.545, a konstansokat tartalmazó vektorba pedig -111.035 kerül. 4.3. Víztorony A víztorony "ág" permanens esetben a jobb alsó blokkban nullát, a konstans vektorban pedig az előirt nyomást tartalmazza, kvázi-permanens esetben pedig a (i4) -dpj+cQ j kdt=0, (a = differenciált. A j indexű (kezdő) ponthoz -1 -et kell tenni, ami azután majd dp, -vei szorzódik, a többi, pozitív előjellel a konstans tag helyére, vagyis a*Q ] k*d'X kerül oda. Rendben is van, hiszen a (liter/sec)*sec egy térfogat, ami bekerülve a hasábnak feltételezett víztárolóba, növelni fogja a vízszintet, azaz ez eredményezi a dpj értéket Szimulációs lépéseknél, amikor a kvázi-penmanens esetet
