Hidrológiai Közlöny 2002 (82. évfolyam)
2. szám - Darabos Péter–Holnapy Dezső: Vízellátó hálózatok kvázi-permanens viselkedésének modellezése
76 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2002. 82. ÉVF. 2. SZ. A csomóponti egyensúly feltétele tehát a fenti jelölésekkel: M M A képletben G -gal jelöltük a N " M méretű kapcsolati mátrix negáltját (a statikában használatos jelöléssel [Szab 1971]), ()-val azM* 1 méretű, az ágak vízhozamait rendre tartalmazó vektort, továbbá </-val a N * 1 méretű, a csomóponti betáplálásokat tartalmazó vektort. A (2) egyenlet Kirchhof! első törvényének teljesülését biztosítja Kirchhoff második törvénye, ha a csomóponti nyomások a modell szerint létrejöttek, automatikusan teljesül. Az ágak végei közti nyomásesés törvénye - amit konstitutív törvényeknek is nevezhetünk - azonban még nincs modellünkben formalizalva. Az általánosított ágegyenlet (a szakaszon bekövetkező nyomásveszteséget is leíró) alakja a következő: (3) Uh (4) M 1G F N+M_ -I + M M 0 ahol új jelölésként találjuk: G-vel jelölve a G mátrix transzponálj át M* N mérettel, F-fel jelölve a -(a \Q j k\ + b ) elemeket tartalmazó diagonál-mátrixot M *M mérettel, /7-vel jelölve a csomóponti nyomásokat rendre tartalmazó N * 1 méretű vektort, f-vel jelölve a nyomásfokozó konstans tagokat (c) tartalmazó M * 1 méretű (statikában a kinematikai terheknek nevezett) vektort. A célnak megfelelően összeállított állapotegyenlet: (5) N+M L 0 G N+M G* F Q + o 0 P j) + i"\Q j k\Q J k +bQ j k +C) = 0 ahol a, b és c konstansok. Egyenes csőszakasz esetében Chézy-Manning szerint a a cső átmérőjétől, hosszától valamint érdességétől függő érték, b és c étéke pedig nulla. Szivattyú (szivattyút tartalmazó ág) esetében a, b és c a szivattyú jelleggörbéjének másodfokú közelítéséből adódik. Más jellegű áramok esetében is érvényesek a fenti megállapítások Villamos hálózatoknál például a-t nullának veszik, lineáris közelítés, ha pedig áramfejlesztő (áramfejlesztős ág) feszültségkeltéséről van szó, csak a c különbözik nullától. Levegőellátó (bányaszellőző) hálózatoknál ugyanezt a szerepet a ventillátor játssza. Az ágigazságokat kifejező egyenletek (amelyek száma M), az eddig használatos jelölésekkel a következők: N+M A fenti egyenletrendszer az állapotváltozók meghatározására alkalmas, természetesen csak fokozatos közelítéssel, mivel az F mátrixban is szerepelnek az eredményként várt Q vízhozam vektor elemei. A probléma ugyanis nemlineáris. 2.2. Az állapotváltozási egyenlet Amint jeleztük, az állapotváltozási egyenletet az állapotegyenletből megkaphatjuk, ha annak képezzük a teljes differenciálját. Egy f(x,,xi.x 3) háromváltozós függvény teljes differenciálja a következő: df , df , df , df = -^—dx x + -~-dx 2 + -zf—d-Xj (6) dx x dx 2 dx-. Az (5) egyenlet deriválását a két állapotváltozó vektor komponensei, és az idő szerint kell elvégezni. Esetünkben az állapotváltozók: a p nyomásvektor és a Q vízhozam vektor (természetesen komponensei) valamint a r idő A teljes differenciál képzésénél - hogy összefüggéseink ne csak jelen cikk keretein belül legyenek felhasználhatók - íijunk a bal felső blokk helyére D-i Jelen cikk további részeinél természetesen továbbra is élünk azzal, hogy D 0 A parciális derivált képzésénél felhasználjuk azt a tételt, hogy az összegképzés és a deriválás sorrendje felcserélhető. Ezek után az (5)-beli egyenlet teljes differenciálja a következő: d (Dp) d (Dp) d (Dp), d( G'Q) d( G*Q) d( G'Q) . „ dp + J!-dQ + JLdx+ — —dp + — —dQ + ————dx + dq = 0 dp d Q d x d p d Q d X (7) d (Gp) d(Gp) d(Gp) d(FQ) d(FQ) d(FQ) , A ^-dp+ dQ + dx + dp+ dQ + y_ 'dx + dt = 0 dp dQ dx dp dQ dx
