Hidrológiai Közlöny 1999 (79. évfolyam)
4. szám - Rátky István–Kozák Miklós: Határfeltételek közelítése árhullámok számításánál
193 Határfeltételek közelítése árhullámok számításánál Rátky István, Kozák Miklós Budapesti Műszaki Egyetem Vízépítési Tanszék 1111. Budapest, Műegyetem rakpart 3. Kivonat: Kulcsszavak: Az árhullámok hidraulikai számítása a szabadfelszínü, fokozatosan változó, nem-permanens vízmozgások témakörébe tartozik A számításhoz a kezdeti és határfeltételek ismerete alapkövetelmény A kezdeti feltétel általában könnyen előállítható. A felső határfeltétel valamilyen formában adott kell, hogy legyen, evvel adva meg a folyószakaszt érő külső hatást, az érkező árhullámot. Rendszerint az alsó határfeltétel előállítása okoz problémát, melyet néha a szelvény permanens Q 0 = Q 0(h) vízhozam görbéjével szoktunk közelíteni. Ez a közelítés azonban a feladattól (árhullám típusa, a számítandó szakasz hossza, stb.) függően számítási pontatlanságot eredményezhet. A bemutatott példa-vízfolyás esetén, egy 50-100 km hosszú vízfolyásnál számított nem-permanens jelenségnél, jelentős hibát követhetünk el az alsó határfeltétel permanens ö-val való közelítése esetén (3. és 5. ábrák). A bemutatott módszer olyan eredményt adott, (4. és 6. ábrák) amelyet eddig bár elméleti alapon és mérésekből ismertünk, de számítani nem tudtunk Számítással megadva tetőzések időbeni sorrendjét: 3h/9i, v, Q és h, (6. ábra) Szabad lefolyású rendszerekben, szabadfelszínú egydimenziós nem-permanens áramlások számításainál, az alsó határfeltételre a bemutatott Q = Q(h) nem-permanens hurokgörbével történő közelítést alkalmazva, megbízhatóbb eredményt kapunk, mint permanens vízhozam görbével történő közelítésnél nem-permanens vízmozgás, árhullám, határfeltétel, hurokgörbe. 1. Alapegyenletek Az árhullám fokozatosan változó nem-permanens vízmozgás, melynek hidraulikai törvényszerűségét egy folytonossági és egy dinamikai egyenlet határozza meg, (Kozák 1977, Abbott 1979, Rátky 1989). A folytonossági egyenlet általános alakja : DQ ŐA _ öx + at ~ 0 d) A dinamikai egyenletet a hidraulikai feltételektől függően különböző alakban adhatjuk meg. Az egyszerűség céljából most pnzmatikus mederben kialakuló vízmozgásokat vizsgálunk (de a vázolt gondolatmenet természetes medreknél is érvényes), melynek dinamikai egyenlete: • 2 r őhS l(dv d\\ S n - — I +-I — + v —| = 0 (2) c 2r Q = AC^ÍRS = ACJR S 0 + dh dx összefüggés, ahol: n n 5 h s = s° + ax (7) a vízfelszín tényleges (pillanatnyi) esése, mig őh dx a nem-permanens vízmozgásnál előálló kiegészítő felszíni esés (Kozák 1958). A részleteket mellőzve az (1) és (5) egyenletekből a kiegészítő felszíni esésre levezethető (Kozák 1958): öh _ _ J_ ah _ Q 0 a 2h dx ~ ~ W at ~ 2BS..W dx 2 (§ ) s k = VSoS; w = w( Wo = 1 dQ 0 B dh (9) dx) g v at dx) ahol Q a vízhozam, A a nedvesített szelvényterület, v a szelvény középsebesség, S 0 a mederfenék esése, h a vízmélység, R a hidraulikus sugár, C a Chézy-féle sebességi együttható, g a nehézségi gyorsulás, x a szelvény helykoordinátája, t az idő. Az (1) és (2) egyenletek általános megoldásait a h = h(x,t) és v = v(x,t) vagy Q = Q(x,t) (3) alakban keressük. A megoldásokra több módszerből jelen esetben az implicit módszert választottuk (Kozák 1977, Rátky 1989), mert jól bevált árhullámok számítására 2. A Q = Q(h) hurokgörbe közelítése A permanens egyenletes vízmozgások elméletéből jól ismert a vízhozam Q 0 = AC^RS; (4) képlete, míg a nem-permanens vízhozamra jó közelítéssel alkalmazható a ahol: dh/dt az árhullámkép érintője, dh /dx" az árhullám felszínének görbületi viszonyát fejezi ki, B a víztükör szélesség, W az összetartozó vízmélységek levonulási sebessége, W 0 a permanens vízhozamgörbe érintőjének reciproka. A kiegészítő felszíni esés (8) képlete alapján matematikailag és hidraulikailag is tudjuk elemezni a Q-h hurokgörbe egyes jellemző szakaszait, pontjait és kapcsolatát az árhullámképpel és a árhullám felszínével. Az (4) és (5) egyenletekből kapjuk, hogy a nem-permanens vízhozam közelítően kifejezhető a mindenkori permanens vízhozammal és a kiegészítő felszíni eséssel: [sT I T~ah (5) (6) S 0 dx A nem-permanens vízmozgás alapegyenleteinek numerikus megoldása közben természetesen adódik, hogy a kiegészítő felszíni esést is numerikusan számoljuk. így azt numerikus deriválással és fokozatos közelítéssel határozzuk meg időciklusról időciklusra. Az x-t hullámsík diszkrét pontjaira a szokásos jelölést alkalmazva (az alsó n index a diszkrét helyre, a felső j index az időre utal), első közelítésében retrográd sémát alkalmaztunk (Kozák 1977, Rátky 1989): ah dx. hí - h n-l (11) n-l
