Hidrológiai Közlöny 1998 (78. évfolyam)
1. szám - Szél Sándor–Kristóf Gergely: Langrange-módszer morfológiai folyamatok számítására
SZÉL S - KRISTÓF Ci.: Lagrange-módszcr.. 53 A diszkretizálás technikájára nézve eltolt háló alkalmazása célszerű, tehát a h vízmélység értékét, az u sebességhez képest, hely és idő szerint egy tél cellányi eltolással értelmezzük (lásd például Abbott, tíasco, 1990: "staggered grid scheme"), amely a folyadékfázis mozgására vonatkozóan hely és idő szerint másodrendű pontosságú differenciasémára vezet. A hordalékra vonatkozó folytonossági egyenletben fellépő konvektív fluxus tag számítására elsőrendű, szélfelőli súlyozási módszert alkalmaztunk. Alkalmazások A kidolgozott numerikus eljárást gátszakadás - vagy zsiliptáblák hirtelen nyitása - esetén létrejövő áramlás szimulációjára alkalmaztuk. Tekintsük a következő magyarázó ábrát (/. ábra), amely a számítandó kezdetiérték feladatot szemlélteti, mozdulatlan mederfenék esetére: vízfelszín alakja gátszakadás után max meder gát -t Á Lábra. Lökéshullám kialakulása gátszakadás hatására Az Lábra olyan speciális példát szemléltet, ahol egy gát, két eltérő magasságú folyadéktérre bontja a számítási tartományt A mederfenék sík és mozdulatlan valamint súrlódásmentes, a folyadékterek nyugvók. Az 1. ábrán az 1 [m] szélességű, egyenes vonalvezetésű, prizmatikus, derékszögű négyszög keresztszelvényű csatorna, vertikális síkú metszete látható. A gát gyors eltávolítása után, egy rögzített időpillanatban kialakuló vízfelszin-eloszlás alakját szemlélteti a szaggatott vonal. A vizsgálandó kezdeti-érték feladat tehát, a kezdeti vízfelszín szakadást előidéző kényszer megszűntetésekor áll elő. A feladatnak létezik analitikus megoldása, így a numerikus számítással összevethető. A következőkben először mozdulatlan mederfenék feltételezése esetén kialakuló áramlást számítunk lagrange-módszerrel és analitikus módon, majd a számítási eredményeket összehasonlítjuk. Ismertetjük az analitikus néhány lépését, felhívva a figyelmet néhány érdekességre Ezt követően olyan számítási eredményeket mutatunk be, amelyek esetében analitikus megoldás nem adható meg: figyelembe vesszük a súrlódás hatását, majd a mederfenék átrendeződését A medereróziós együtthatót a valóságban előforduló értékeknél nagyobbra vesszük fel, hogy a végbemenő folyamat jól látható legyen Lökéshullám számítás mozdulatlan mederfenék esetén Az előzőekben ismertetett feladat analitikus megoldása ismert (lásd például: Goussebaile, Lepeintre, 1988). Az analitikus megoldás meghatározásához segéd diagrammot (2.ábra) készítettünk (amelynél a következő jelöléseket vezettük be: /?/ h ma x, /?? = h m m). Kezdetben a folyadéktér mozdulatlan (/// =0 és w? = 0) A gátszakadást követően létrejön egy, a kisebb vízmélység irányába haladó lökéshullám. A lökéshullám két oldalán a vízmélység eltérő, vagyis a lökéshullám frontjában a vízfelszínnek és a vízsebességnek helyi érintőleges szakadása (vagy "ugrása") van. Létrejön továbbá két gyenge szakadás (az l. ábrán feltűntetett szaggatott vonal két töréspontja), amelyek egyike a nagyobb vízmélység irányába halad (u = - (gh]) 1 7" sebességgel), másika pedig a lökéshullámban érvényes /'>w«/í?-számtól függően (u = u 2(l - Fr' ), ahol: Fr = U2/(gh2) 1/ 2), a lökéshullámmal- vagy az azzal ellentétes irányban terjedő gyenge szakadással megegyező értelemben mozog. A lökéshullám és a hozzá közelebb eső gyenge szakadás közötti szakaszon a vízfelszín a mederfenékkel párhuzamos, vagyis a sebesség és a vízmélység állandó. Itt az áramlási sebesség a következő képlettel adható meg (a Riemann-invariánsok, karakterisztikus sebességek mentén való állandóságából következően): u, =2 -y^h, -V^T) (11) A lökéshullámmal együttmozgó úgynevezett Galileiféle koordinátarendszerben felírható, hogy a szakadási hely két oldalán érvényes anyag- valamint impulzus-fluxusok megegyeznek (lásd még: Szél, 1997). Az anyag- és impulzusáramok állandóságát kifejező egyenleteket, melyek a lökéshullámmal együttmozgó koordinátarendszerben adódnak: Rankine-Hugoniot-íéle egyenleteknek nevezzük. Az egyenletekből kiküszöbölve a lökéshullám terjedési sebességét, adódik az áramlási sebességet és a vízmélységet tartalmazó Rankine-Hugoniot-féle összefüggés: -O 2 -&(2G 2 +1) +1 = 0. (12) ahol: <t> [-] = vízmélység arány, = h/hj. G [-]= Froude-sz&m jellegű mennyiség, amely a követ kezőképpen adható meg: G ghy (13) A (11) és (12) egyenletek megoldása segítségével meghatározható a keresett vízmélység (h2) és vízsebesség («2) A megoldást iterációs számítási eljárással határoztuk meg a: /7/ = 10 [m], hj = 1 [m] esetre. A 2.ábrán különféle ¥ (H' = hj 'hj ) kezdeti vízmélységarány esetére végzett számítások eredményeit tüntettük fel, szaggatott vonallal felezve az iterációs lépések kezdőértékét (<t>°-t) is. <t> kezdőértéket úgy határoztuk meg, hogy a kezdeti vízmélységet a gátszakadást megelőző vízmélységek \
