Hidrológiai Közlöny 1998 (78. évfolyam)
1. szám - Szél Sándor–Kristóf Gergely: Langrange-módszer morfológiai folyamatok számítására
[52 I liDKULÖGIAl KÖZLÖNY 1998. 78. ÉVF. 1. SZ. számítására szolgáló egyenletet szokás hordalék-dinamikai egyenletnek is nevezni. A hordalék-dinamikai egyenlet kifejezheti a görgetett hordalék mozgását (Cunge, Holly, Verwey, 1980), vagy a dűnékben mozgó homokmeder mozgását {de Vries, 1987). A vizsgálni kívánt folyamatot leíró matematikai modellrendszer áramlási változói (w, h) /&ywo/úfc-időátlagoIt mennyiségek ugyanis a felmerülő feladatok csaknem mindegyike esetében az áramlás turbulens. Eltekintünk azoknak az eseteknek a vizsgálatától, amelyeknél a lebegtetett hordalékmozgás (a vízfolyás által szállított, a mederfenékre esetleg kiülepedő vagy onnan felkeveredő hordalék) hatása a mederfenék színt alakulására jelentős a mederfenék közelében vándorló mederanyag feltöltő- illetve kimélyítő hatásához képest Az ismertetendő numerikus módszer a lebegtetett hordalékmozgás számitására is alkalmazható lenne, de ennek ismertetésére tanulmányunkban nem térünk ki. A (4) hordalék-dinamikai egyenlet megfelelő kibővítésével figyelembe vehetők a mederanyag jellemzői, az esetleges inhomogenitások, a páncélozódás hatása és az áramlási változóktól való függés különféle lehetőségei (például a csúsztatófeszültségtől vagy a mederfenékszinthez közeli átlagos áramlási sebességtől való hordalékhozam függés). A numerikus megoldás módszere A parciális differenciálegyenlet rendszer megoldása Lagrange-módszert alkalmaztunk, amely a véges térfogatok módszeréhez hasonló elven alapuló, de annál kevésbé széles körben alkalmazott numerikus módszer A Lagrange-móászer alkalmazása esetén a vizsgált tartományt véges térfogatú cellákra bontjuk, amelyeknek határfelületeit a folyadékkal együtt mozgatjuk, ekkor ugyanis egykomponensű folyadékáramlás esetén a cellahatárfelületeken áthaladó folyadékáramlás zérus. Ilyen módon egyfázisú áramlások esetén elkerülhető a megmaradási egyenletekben (például a folytonossági egyenletben vagy a mozgásegyenletben) előforduló konvektív fluxus kifejezések numerikus számítása és az ezzel járó, különféle szélfelőli súlyozási (upwinding) módszerek alkalmazása. Különösen előnyösen alkalmazható a Lagrangemóászer olyan időfüggő hidrodinamikai problémák megoldására, ahol a vizsgált folyadék sűrűsége - akár 6-8 nagyságrenden át - változhat a számítási tartományon belül. Jellemző alkalmazási példák az ioszféra vizsgálata céljából kibocsátott radioaktív bárium felhő kiterjedésének vizsgálata és fúziós kísérleti reaktorokban alkalmazott hidrogén pelletek párolgási folyamatának számítása (Lengyel, 1992). A Lagrange-móászer kétfázisú rendszerek esetén például a plazmafizikában használatos kétfolyadék modellekre - is alkalmazható (Kristóf, 1997), azonban ilyen esetben a numerikus háló legalább az egyik fázis sebességétől eltérő sebességgel mozog, tehát valamelyik fázis mindenképpen átáramlik a numerikus cellák falain. Az itt tárgyalt modellben a numerikus hálót a vízfázis sebességével mozgatjuk, ezért a cellafalakon csak a hordalékfázis áramlik át. A Ixigrange-móászer általános elméletével foglalkozó alapvető irodalmi forrás Richtmyer, R.D. dolgozata (Richtmyer, 1967), amely a megoldás szakadási helyeinek kezelésére szolgáló mesterséges viszkozitás alkalmazását is részletesen ismerteti (lásd még: Von Neumann, Richtmyer, 1949). Az itt vizsgálandó egydimenziós morfológiai probléma esetében a Lagrange-móászer alkalmazásához az alapegyenleteket az alábbi alakra hozzuk: ÍiiH) d H o ~a + ck o. (5) Az (5) egyenletben szereplő H vektor az egyes megmaradó mennyiségek térfogati intenzitásait, ü pedig az ezekhez tartozó forrástagokat tartalmazza: H = h uh (6) 0 = 0 ác\2 ) ó{uz-S) gh^-ghS, ax ck (7) Integrálva (5) egyenletet egy véges, Ax hosszúságú szakaszon, majd alkalmazva a transzportegyenlet integrál alakját a következő összefüggés nyerhető: dt \Hdx=\Odx. (8) A (8) egyenletben a folyadékfázisra nézve a tömeg- és impulzusmegmaradási tételek változó, Ax hosszúságú mozgó folyadékszakaszokra vonatkozó integrál alakjait kapjuk, a hordalékra nézve pedig egy konvektív fluxuskifejezést (uz) is tartalmazó megmaradási egyenlet adódik. A Lagrange-móászer alkalmazása esetén a folyadékra vonatkozó folytonossági egyenlet automatikusan teljesül, a Lagrange-ceWakba. zárt folyadék tömege állandó: ^(AAr J = 0. (9) A numerikus háló mozgatásához újabb differenciálegyenlet megoldása szükséges, amely a következő alakban adható meg: dx dt = u (10)
