Hidrológiai Közlöny 1998 (78. évfolyam)
1. szám - Benedikt Szvetlána–V. Nagy Imre: Matematikai statisztikai módszer a vízszennyeződést okozó ismeretlen üzem azonosítására
42 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1998 78. Í-VF. 1. SZ. Jelöljük ezt a mértéket I -vel. Előfordulhat, hogy a toxikológiai vizsgálatok nem elegendőek a V mérték egyértelmű megadásához. Ekkor viszont a l-re vonatkozó lehetséges hipotézisek V V V v 1 •>* 2 > • • • K m sorozata valószínűsíthető az X üzem felelősségi mértékét illetően is. Feltételezzük, hogy ezek teljes eseményrendszert alkotnak. Ekkor az X üzemnek a vizsgált vizszenynyezésben betöltött szerepét, mértékét illetően általános esetben a V = SDRM (3) összefüggés irható fel, ahol S - azon eseményt jelenti, hogy az X üzem mérgező hatása szennyvizet vezetett be a vízfolyásba, D - a halpusztulás bekövetkezése az S esemény miatt, K- a fí esemény konkrét okának (mérgező anyagnak) bekerülése az X üzem szennyvizébe, M - olyan vegyi anyagok jelenléte a szennyvízben, amelyek egyenként (csupán esetleges kölcsönhatásukban) nem okoznak halpusztulást. így tehát a Vj (j /, 2, ... m) hipotézisek sorozata négy esemény szorzatával adható meg oly módon, hogy mindegyik szorzat tartalmazza az S és D biztos eseményeket. Ugyanekkor az R esemény helyett (amely nem adható meg egyértelműen) szerepeltetjük az erre vonatkozó hipotéziseket. Ugyanezt tehetjük az M eseményt illetően is. Legyenek tehát - R/, R 2, ... R p a bekövetkezett halpusztulás konkrét okára vonatkozó hipotézisek, - M,, Mi, ... M g az egyéb (nem közvetlenül mérgező) vegyi anyagok bekerülésére vonatkozó hipotézisek Tételezzük fel, hogy a fenti hipotézisek teljes eseményrendszert alkotnak. Ebben az esetben az X üzemnek a halpusztulásban való szerepét, mértékét illetően m p.g számú hipotézis lehetséges, azaz. V x = SDR ÍM ] V, = SDR.M-. Vj -SDR kM, (4) V m = SDR pM g Ha a bekövetkezett halpusztulás okáról és a viszonylag közömbös vegyi anyagok meglétéről még hipotéziseket sem tudunk felállítani, akkor a (3) és (4) összefüggésekben elhagyjuk az R és M értékeket A fenti meggondolások akkor használhatók fel a legeredményesebben az X üzem felelősségére vonatkozó bizonytalanság csökkentésére, ha módunkban áll kiszámítani múltbeli mérési adatok alapján a />(//, / HEH V)J - 1, 2,...n (5) feltételes valószínűségeket, ahol: H, - azon hipotézis, hogy az X üzem azonos az F, üzemmel, (tehát az F, üzem felelős a halpusztulásért). H - azon hipotézis, hogy X £ b , tehát a Hj, Hi, ... H n sorozat teljes eseményrendszert alkot. //,. - azon hipotézis, hogy az F, esemény előfordulása esetén a (4) összefüggés szerinti V), Fj, ... !•',„ hipotézisek teljes eseményrendszert alkotnak E/j - a már korábban definiált okok sorozata. Az (5) kifejezéssel jelölt feltételes valószínűségek meghatározása során azonban a következő elvi problémák vetődnek fel: Alapvető gond az, hogy feltételeinkben egyszeri, nem ismételhető események (E és H v) szerepelnek, így a HEH,, esemény is ebbe a kategóriába tartozik. Emiatt a kérdéses feltételes valószínűségek közvetlen statisztikai úton és szakértői becsléssel sem határozhatók meg egyértelműen Szükség van tehát egy olyan módszerre, amelynek révén azon valószínűségek számítási eljárása visszavezethető olyan valószínűségek meghatározására, amelyeknél nincsenek ilyen korlátozások. (Ilyenek lehetnek a többször ismétlődő eseményekre vonatkozó valószínűségek). 2. Javaslat a probléma megoldására A teljes valószínűség tétele alapján: P = (H i/HEH v) = m = Y JP( VJ /HEH v)P(H i /HEH vVj) 7=1 0 = j. 2,... n) (7) Bizonyítható, hogy elfogadható egyszerűsítő feltételezések esetén (Benedikt Sz., 1994) P(V jIHEH v) = P{V JIE) (8) továbbá: P(H, /HEH vVj) = P(Hi /HVj) (9) A (8) egyenlőség azt jelenti, hogy az E feltétel érvényesülése esetén a H és H v feltételek irrevelánsnak tekinthetők a V t hipotézis szempontjából. Ugyanakkor a (9) egyenlőség azt jelenti, hogy a V t esemény bekövetkezése esetén a H v és F események is irrevelánsak a H, hipotézis szempontjából. A (8) és (9) egyenlőségek alapján, a (7) összefüggésből következik, hogy P = (H,/HEH V) = /• J Q\ = Y á piV JIE)P(H lIHV J) 7=1 Tekintettel arra, hogy a H, } H 2, ... H n hipotézisek a H feltétel esetén teljes eseményrend szert alkotnak, így a PiHJHVj) feltételes valószínűségek meghatározására alkalmazható a Bayes-tétel, azaz: P(H t)P{V, / H,) P{H t I HVj)- n K J '-L- (11) £/>(//_. )/>(K,.///_.) Mivel a Hi, H :, ... H n hipotézisek egyszeri, nem ismétlődő eseményeket jelentenek, nem szükséges megkülön-
