Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)
1. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor: Hirtelen szelvénybővületnél kialakuló turbulens áramlások szimulálása perem-integrálegyenlet módszerrel
4 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1996. 76. ÉVF. 1. SZ. tiszta diffúziós részre (mely idő szerint implicit séma). A felső index az időlépésre utal. Ezekután (9)-et az u sebességmezővel együtt mozgó koordinátarendszerben oldjuk meg. Az u sebességmezővel együtt mozgó (xy) pontok tehát a közönséges x" k + l: = x n k +yÍ2^-Z k (14) ^ = u(x(t),y(t)) at at (11) ío differenciálegyenlet-rendszert elégítik ki. Az örvényességet véges sok, diszkrét pontokba koncentrált örvényforrások szuperpozíciójával (ún. örvényrészecskékkel) modellezzük: (£=1,2 N), ahol 72....,>7w független, normális eloszlású véletlen számok (valószínűségi változók) 0 várható értékkel és 1 szórással. A módszer, rendkívül egyszerű implementálhatóságán kívül, természetes módon kapcsolódik az előző, szintén Lagrange-i konvekciós lépéshez; részletesebben Id. pl. Kinzelbach (1986); Józsa és Kontúr (1988). Megjegyzés: A számítógépeken közvetlenül legtöbbször a (0,1) intervallumban egyenletes eloszlású véletlen számok generálhatók. 12 db ilyen független számból az n a>it.x,y):^(o k-ő(x-x k(t))-S(y-y k(t)) (12) _ 6 + y. k=I k=\ ahol (o k jelenti a Ar-adik örvényrészecske intenzitását, (x k(t)y k(t)) a pillanatnyi pozícióját, ő pedig a Diraceloszlást. A (11) egyenleteket ily módon elég az örvényrészecske-pozíciókra megoldani. Integrálásra a legegyszerűbb £We/--módszert használva kapjuk, hogy az örvényrészecske-pozícíók az »-edik időlépést követő r idő után rban másodrendű közelítéssel felírhatok *r 2 yT m = x" k +r-u(x n ky k) = y k+r-v(x n ky k) (13) (&=1,2,...,jV) alakban. Az új örvényrészecske-pozíciókhoz most már (Ok intenzitású örvényforrást elhelyezve, a tiszta konvekciós (9) lépést megoldottnak tekinthetjük. Következő feladatként a (10) tiszta diffúziós lépés oldandó meg. Ha a v viszkozitás jelentős, akkor egy segéd-rácsháló segítségével áttérhetünk egy Euler-i (álló) rendszerre, ott pl. valamilyen végesdifferenciás közelítéssel (10)-et elvileg nehézség nélkül megoldhatjuk: külön probléma azonban a felújított co megoldás "visszahelyezése" az örvényrészecske-pozíciókba (ráadásul úgy, hogy a teljes örvényesség megmaradjon). Ez a lépés optimálisan úgy hajtható végre, hogy minden időlépésben egy egyenlőtlen (QT-) hálót használunk, mely csak az örvényrészecskék közelében sűrűsödik be, így a bevezetett ismeretlenek száma mérsékelt marad, ld. Gáspár et al (1995). Ha azonban az áramlás konvekciódomináns, mint esetünkben is, ez a technika nem feltétlen szükséges: teljesen kielégítő szimulációt nyerünk a diffúzió MonteCor/o-módszerrel történő közelítésével, azaz a véletlen bolyongás módszerével is. Mint ismeretes, ekkor az örvényesség diffúzióját úgy szimuláljuk, hogy a részecskepozíciókat egymástól függetlenül egy-egy, normális eloszlású véletlen lépéssel továbbmozdítjuk, miközben az örvényrészecske intenzitása változatlan marad, azaz formulával képezett szám viszont már elég jó közelítéssel normális eloszlású, és egyszerűen látható, hogy íj várható értéke 0, szórása pedig 1. Az örvényrészecske módszer alkalmazása esetén a peremfeltételek implementálása is egyszerű. Vízzáró határolás mentén a tangenciális sebességirányok miatt örvényrészecske nem lép ki a rendszerből, és nem is lép be abba, itt tehát a peremfeltételek automatikusan kielégülnek. Az alsó peremen az örvényrészecskéket egyszerűen kiengedjük a rendszerből. A felső peremen feltételezhetjük, hogy a belépő áramlás örvénymentes (vö. azzal, hogy itt a i// áramfuggvényt lineáris változásúnak tételeztük fel, ami egyenletes beáramlást jelent, sebességnyírás nélkül). A modellben ily módon az örvénykeletkezés egyedüli forrása az oldalfalak mentén ható falsúrlódás, mely sebességnyírást, tehát örvényréteget hoz létre. Modellünkben feltételeztük, hogy ez az örvényréteg mindvégig az oldalfalhoz tapad, oda lokalizálódik, kivéve az átmenet helyét: itt a sarokpontokról leválva, ör\'ények kerülnek az áramlási tér belsejébe. Az így bekerülő örvényességet diszkretizáltuk örvényrészecskékkel: minden egyes időlépésben egy-egy új örvényrészecske kerül az áramlási térbe, melynek intenzitása az aktuális sebességnyírás és az időlépéshossz függvénye. Ennek kiszámításával később foglalkozunk részletesebben. Megjegyzések: 1. Említsük meg röviden a következő két szélsőséges esetet. Teljesen sima fal sebességnyírást nem okoz, örvényesség nem keletkezik. Teljesen tapadó fal esetén tekintsünk egy igen vékony, e szélességű réteget a fal mentén (2.ábra). A réteg felett örvénymentes áramlást tételezünk fel. A rétegben a tangenciális sebesség csökkenjék 0-ig lineárisan: az co örvényluggvény így a réteg minden pontjában uf=-u/e. Egy L hosszúságú
