Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)
1. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor: Hirtelen szelvénybővületnél kialakuló turbulens áramlások szimulálása perem-integrálegyenlet módszerrel
GÁSPÁR CS. - SZÉL S.: Turbulens áramlások szimulálása... 3 ahol u:=(w,v) a sebességmező, p a nyomás, p a sűrűség és v a viszkozitás. Az (1) folytonossági egyenlet két dimenzióban lehetővé teszi a árainfiiggvény bevezetését: ekkor az áramlási sebesség y/ parciális deriváltjaival állíthatók elő, mégpedig: u = dy V = dy (4) Bevezetve az co örvényfüggvényt: du co:= rotu = áhc ty (5) és képezve a (2)-(3) egyenletek rotációját, az (1) egyenlet felhasználásával egyszerűen adódik, hogy co szükségképp kielégíti a ahol Qab jelenti az A és B pontok között a peremen (egységnyi mélység mellett) keresztüláramló vízhozamot. Vízzáró határolás mentén tehát <// nem változik. Az általunk vizsgált hidraulikai átmenet esetén ez azt jelenti, hogy pl. a jobboldali oldalfal mentén ^t azonosan 0-nak írhatjuk elő, míg a baloldali oldalfal mentén a teljes hozamnak megfelelő maximális férték érvényes (ld. az 1.ábrát). A be- ill. kifolyási szelvényben y értéke 0 és e maximális érték között változik a feltételezett sebességprofiltól függő módon. Gyakorlatilag teljesen kielégítő, ha egyenletes be- és kiáramlást feltételezünk, ami y/-nek hossz mentén lineáris változását jelenti, bár a tényleges sebességeloszlás természetesen nem egyenletes: mindazonáltal ennek hatása csak a felső és alsó perem közelében érződik, és a vizsgált áramlási térben - a bővület környékén elenyésző. — + u • grad co - v- Aco = 0 őt (6) egyenletet, ami nem más, mint egy u sebességmezőjű transzportegyenlet az co örvényességre nézve. Ugyanakkor (4)-bőI deriválással a A y = co (7) •Po/json-egyenlet adódik. Kaptuk tehát, hogy az (l)-(3) egyenletek helyett elég a (6)-(7) egyenletrendszert megoldani, mely a nyomást már nem tartalmazza. Ha ezt már megoldottuk, innen a sebesség kiszámítása a (4) formulák direkt alkalmazásával történhet. A y/ áramfüggvény csak additív konstans erejéig egyértelmű, mivel azonban a sebességek ^ből deriválással határozhatók meg, e konstans értéke lényegtelen. A (6)-(7) egyenletekhez az egyértelmű megoldhatóság érdekében minden időpillanatban peremfeltételeket kell csatolni. A (6) transzportegyenlet esetében a peremfeltételek az örvényességnek az áramlási térbe való bejutását ill. az onnan való kilépését írják le. A (7) egyenlet esetében ^re peremfeltételt a következő megfontolásból nyerhetünk. (4) alapján eh)/ (8) '4' = Y = o l.ábra.Diffúzor sematikus rajza és az áramfüggvényre tett peremfeltételek Az örvcnytranszport-cgyenlct Lagrangc-i modellezése A (6)-(7) örvényfüggvény-árainfüggvény-egyenleteket egymástól függetlenül és akár teljesen különböző numerikus technikával oldhatjuk meg. Előnyös tulajdonságai miatt (6)-ra inost mi egy Lagrange-i (mozgó koordinátarendszercs) megközelítést alkalmaztunk (ld. Józsa és Kontúr (1988); Gáspár és Józsa (1991, 1992)). Az eljárás lényege röviden a következő. Az időt fix, r hosszúságú időlépésekkel diszkretizálva, a (6) egyenletet minden egyes időszinten két különálló, idő szerint diszkretizált egyenletre bontjuk, éspedig egy ahol u„ a sebesség kifelé mutató normális irányú komponensét, dlde pedig a (pozitív körüljárás szerinti) tangenciális irányú deriváltat jelenti. (8)-at a perem egy A és B pontja között integrálva kapjuk, hogy (0 n+ m-c0 n + u" - grad co" =0 (9) tiszta konvekciós részre (mely idő szerint explicit séma), és egy co n+ l -co n+y 2 + v-Aco" =0 (10)
