Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)
1. szám - Mosonyi Emil: A valószínűleg legnagyobb (PMF) árvízi vízhozam és a béta-eloszlás alkalmazása a t-évenként előforduló árvízi hozamok meghatározásakor
14 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1996. 76. ÉVF. 1. SZ. 2.2 A PMF kiszámítása A megelőző fejezeteben említett PMF burkoló görbékkel, alkalmazva egy megfelelő csapadék-lefolyás modellt, kiszámítható a lefolyó vízhozam, például az egység árhullámképek ismeretes módszere segítségével. A lefolyó vízhozam legnagyobb értékét a csapadék eloszlás és a csapadék időtartam kombinációjának eredményeképpen kapjuk. A szerző tapasztalata azt mutatja, hogy a csapadéknak az az időbeli eloszlása adja a legnagyobb értékeket. Ezen kívül szükséges megvizsgálni a veszteségek mértékét és meg kell határozni azoknak az egyes évszakokhoz tartozó legkisebb értékeit. Az alaplefolyás rendszerint figyelmen kívül hagyható. A csapadék és a lefolyás számítása folyamán, kombinálva a három kritikus tényezőt: - a csapadék (az eső) legkedvezőtlenebb időbeli eloszlását, - az eső kritikus időtartamát, valamint - a veszteségnek az egyes évszakokhoz tartozó legkisebb értékeit, eredményül a PMF értékét (a valószínű legnagyobb árvízi vízhozamot), vagyis a lefolyó vízhozam valószínűleg legnagyobb értékét kapjuk. Megjegyzés: A hó alakjában lehullott csapadék hatását itt nem vettük figyelembe. Ezt adott esetben a legnagyobb értékek kiválasztása folyamán kell számításba venni. 3. A béta-eloszlás A béta-eloszlás olyan kétoldalról korlátos valószínűségi eloszlás, amelynél a béta-eloszlású valószínűségi értékek csak meghatározott tartománybeli értékeket vehetnek fel. A statisztikai tankönyvekben [8, 9, 10] a legtöbbször kétparaméteres, a következőképpen felírt alakja található: A sűrűség = /(a) = C 0. . (1 - A") 6"' 0 < x < 1 (1) Itt C„ = r(ű).r(z>) a,b > 0 Gyakrabban található a következő kifejezése[9]: A sűrűség = /(X) = C,. X a. (1 - x) p 0 < A < 1 (2) a, (3 >-1 és C, = r(a + /7+2) r(a+i).r(/?+i) Tekintettel a momentum meghatározási egyenletek egyszerűbb alakjára, a sűrűségfüggvénynek az (1) kifejezése célszerűbbnek látszik, mint a (2) kifejezés. Ezért egy általános (0áx< 1) tartományban az árvizek valószínűségének jellemzésére így nem alkalmas. Ezért egy általános (u < x < v) tartományra vonatkozó béta-eloszlást szükséges alkalmazni. Mivel a tartomány u és v határát újabb változókként kell figyelembe venni a vizsgálatok folyamán, ennek az általános alaknak négy változója van: a, b, u, v. Ha ennek megfelelően transzformáljuk az (1) egyenletet, eredményül a következő kifejezést kapjuk: /(*) = C 0. 1 (x-u) a '.(v-A) (V-K) a+i-l (3) Itt u <, x < v. A C a, a és b mennyiségeket illetően az (1) egyenletre utalunk. Az f(x) eloszlásfüggvények - az (1), (2), (3) egyenletnél - nem fejezhetők ki zárt alakban. Ha ez szükségessé válna, át kell térni a nem teljes béta-függvényre: B( x, a,b) = JC 0. z ű-' .(1 -z) b'\dz (4) A B(x,a,b)-re vonatkozóan táblázatok állanak rendelkezésre pl. [9], és a programkönyvtárakban szubrutinok is vannak, pl. [10], Az F(x) eloszlásfüggvény alakja ezután a következő lesz: F(x) = B x -u ( ).a.b v-u (5) A táblázatok és a szubrutinok vizsgálatát megelőzően minden esetben meg kell vizsgálni, hogy a sűrűségfüggvény az (1) vagy a (2) alakban áll-e rendelkezésre. Az xj kvantilis most az (6) numerikus megoldása útján határozható meg. Egy másik lehetőség a (4) egyenlet reciprok függvényének alkalmazása, amint az pl. az IMLS programkönyvtárban is rendelkezésre áll [1 ÍJ. A változók meghatározása Ezt követően a béta-eloszlás paraméterei pl. a momentumok módszerével határozhatók meg. A (3) egyenlet esetében az alaphalmaz következő momentumai adódnak: E{x) - Ía./(a).í/a - n- ————• 4- u (7a) „ a + b E( <xHY = o x^ ' —- (8a) (a+6).(a + b + \) E(x- ju) 3 = m } = (v-u)\2.a.b.(b-a) (<z + Z>) 3(Ű + 6 + 1).(Ű + 6+2) (9 a)
