Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)

1. szám - Mosonyi Emil: A valószínűleg legnagyobb (PMF) árvízi vízhozam és a béta-eloszlás alkalmazása a t-évenként előforduló árvízi hozamok meghatározásakor

MOSONYI E.: A valószínűleg legnagyobb árvíz .. 15 E(x-p)* =m

A = (v - u)

4.3. (a

2b

2 + ab

3 + 2 a

2b -2 ab

2 + 2 b

}) (a + b)'.(a + b + \).(a + b + 2).(a + b + 3) U» X = —Yx N ' o

2 N 1 (7 b) (8 b) (9 b) (10 b) s X r -Tl r kifejezések segítségével a szúrópróba szerűen meghatározott adatokból megállapítsák. A gyakorlat szempontjából azonban ez az eljárás nem lenne célszerű, különösképpen, ha ezen felül még számolnunk kell a 4. momentum nagy szórásával. Ha a változók számát csökkentjük, például oly módon, hogy az u alsó határt megadott értékkel vesszük figyelemebc, a megmaradó három változó, az a, b és v meghatározása még mindig nagyon bonyolult lesz, amint azt a következőkben bemutatjuk: Kiszámítjuk előbb a C

2 értékét: 2 4.(b- a)

2 .(a + b +1) C = a.b.(a + b + 2)

2 (11) a (7) egyenletből továbbá a következő kifejezés adódik (x - u).(a + b) Ily módon: b

= s

2.a.(a +1) (x-u)

2 +a.s

2 (14) (10 a) A szúrópróbaszerűen meghatározott N értékből a momentumokat a következő képletek szerinti határozzuk meg: A paraméterek kevés mintából való meghatározásakor az l/N -tői eltérő tényezőket fognak használni, mint pl. a variancia meghatározásakor az 1 / (N-l) -et. Ismereteink szerint a hidrológiában mindezidcig nem kísérelték meg, hogy a négy változót, u-i, v-t, n-t, és b-1 a fentebbi egyenletek vagy a belőlük levezetett Most a (14) egyenletet a (12) egyenletbe kellene helyettesíteni. Most már érthető, hogy ezt, vagy az ehhez hasonló megoldási utat a hidrológiában ez ideig nem követtek. A megoldást először is a PMF-nek, mint felső határértéknek a bevezetése egyszerűsíti.. Ily módon már látszik az elviselhető nehézséggel járható út, a béta-eloszlás alkalmazása a HQr meghatározására is. Ezután a (7) és a (8) egyenletből a következő kifejezések adódnak: (X-u) , a = - ~.b (15) (V-A) , (v-x) .(x-u).(v-x) b = \ fe ~Y --1) (16) (V-M) S A változóknak a legnagyobb érték - valószínűségi módszerrel való meghatározása a négy ismeretlenre vonatkozóan ugyancsak gyakorlatilag megoldhatatlan egyenlcteket ad. Az a függvény, amelynek a szélső értékét meg kell határozni, a következő: (17) - N. ln[r(a + b)] - N. ln[r(ű)] - N. ln[r(6)] -N.(a + b-1).ln(v- «) + (a-1).£ln(jc, - «) Azok a parciális differenciálhányadosok, amelyeket a szokásos módon a legnagyobb értékek meghatározásakor alkalmazni fogunk, a következők — InL = N. + b)-N. ty(a) - N. In(v- u) + V ln(^ - «) ch (18) ~InL = N. y/(a+b) - N. y/{b) - N.ln(v- u) + Yln(v- x,) öb (19) 1 d. . N.(a + b-1

) „ — In L = — --(a-1). > őu (v-m) (x

i - u) (20) (V — «) = — (12) a Behelyettesítve a (12) egyenletet a (8) egyenletbe aj

1

0] y/^z) = . (x-u)

2 b (a + b+l) = ±—y

2-- (13) d. , N.(a + b-1) „ ^ 1 — In L = + (Z?—1>. > dv (v — u) (v-Xj) r'(z) r(z) - • • (21) . a kettős- (di)gamma függvény.. Az a, b, u és v mennyiségek ily módon való meghatározása bizonyosan nem vonzó eljárás. Ha fentebbiekben