Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)

5. szám - Bakucz Péter: Fraktálgeometria: rövid bevezetés a hidraulikai alkalmazásokhoz

.306 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1995. 75: ÉVI': C

,. SZÁM vonzási ponthalmazai, vagy másképpen attraktorai értelmezik. Amennyiben a mechanikai mozgást fázistérben ábrázoljuk (a fázistérben egy anyagi pont által befutott pálya a trajektőria egy időpillanatban) a trajektória vonzási ponttal, görbével vagy tőrusszal rendelkezik. A görbét határciklusnak nevezik (Szépfalusy és Tél, 1982). Ha egy c komplex változót a Mandelbrot-halmaz szív alakú részébe tesszük akkor egy l-es periódusú határciklust kapunk, ha a balfelőli kerek fejbe akkor 2 periódusút s.i.t. A c balfelé való mozgásakor egyszercsak a periódusok végtelenbetartását, az un. Feigenbaum féle bifurkációt érjük el ami a rendszer kaotikussá válását jelenti. A kaotikusan mozgó rendszereknek vannak olyan attraktoraik, melyek pl. egy háromdimenziós fázistérben kétdimenziósnak látszanak, de mégis elférnek rajtuk a szabálytalan trajektóriák úgy, hogy mintha az attraktor háromdimenziós lenne. Ezen attraktorokat különös attraktoroknak, fraktáloknak nevezik. 5.ábra. Mandelbrot-halmaz Fig.5. Mandelbrot set 5. Fraktálok a hidraulikában Rövid ismertetőnk befejező részében szemelvényszerűen bemutatjuk azokat a hidraulikai tárgyú alkalmazásokat, amelyeket elsősorban fizikusok alkottak meg, és amelyekben a vizsgált jelenség fraktáljellege dominált. Felsorolásunkban nem tekintettük feladatunknak a jelenség fraktáljellegének részletes magyarázatát, hanem ajánljuk a Tisztelt Olvasónak, hogy további, sokkal teljesebb és alaposabb információként a hivatkozott irodalmat tekintse át. Áttekintésünk elsősorban Mandelbrot munkásságára összpontosult, amit az irodalomjegyzékben is feltüntettünk. Lovejoy amerikai meteorológus (közölte: Mandelbrot, 1982b) az égen úszó felhők fraktáldimenzióját határozta meg különböző képfelbontás mellett. Kiderítette, hogy az azonos légköri viszonyokhoz tartozó felhők határvonala minden esetben ugyanazt a fraktáldimenziót D = 1,35 ±0.05 mutatja. Az állóvizek partvonalának vizsgálata különböző földrészeken átívelve is arra az eredményre vezetett, hogy ezek fraktáldimenziója egy szűk tartományba esik, DG 11.50,1.53] (Mandelbrot, 1978). A folyók hossza és vízgyűjtőterületének nagysága összefüggésében is szűk tartományba tartozó fraktáldimenzióval van dolgunk, De| 1.38,1.42] (Hack, 1957). Perrin készített olyan képet, amely a Brown mozgás trajektóriáit tüntette fel. Ezért 1926-ban Nobeldíjjal jutalmazták, mert képes volt ebből az Avogadro számot meghatározni. Azért tehette ezt meg, mivel a Brown-ntozgást végző részecske fraktáldimenziója mindenesetben 1.5 (Mandelbrot, 1968b, 1969, 1982a). A legtöbbet kutatott hidraulikai tárgyú témakör a turbulencia vizsgálata (Mandelbrot, 1967, 1968a, 1974a, 1974b, 1975-, 1976a, 1976b, 1976c). Miért önhasonlóak a felhők, a folyók, az állóvizek a Brown-mozgást végző részecske trajektóriája? Nem tudjuk. Jelenlegi ismereteink nem elégségesek, hogy a fraktáldimenziőt le tudjuk vezetni fizika alaptörvényeiből (kevés kivételtől eltekintve). Mandelbrot szerint: " A probléma az alapegyenletekkel kapcsolatos kezdetleges ismeretünkben van. " A fraktálgeometria segítségével, az önhasonlóságon alapulva számos olyan alakzat vizsgálható, amelyek hasonlósága a tényleges hidraulikai folyamat eredményeképpen kapott alakzattal feltűnően nagy. Ezt a problémát a természettudományokban az un. univerzalitás kérdéscsoportban vizsgálják (Tél, 1989). Az új szemlélet szintetizálásához vezető úton feladatként jelentkezik, hogy ne a ismeretlenből haladunk a megoldás felé azáltal, hogy egyenleteken át közelítjük a valóságos folyamatokat, hanem az ismert alakzatok elemzése (pl. a folyamat eredményéül kapható képek) által vonjunk le következtetéseket a már nem idealizált természeti folyamat mivoltáról. Az alakzatok elemzése a fraktálgeometria értelmezése szerint a hidraulikában elsősorban a határok (topográfiai, fizikai, kémiai stb.) elemzését jelenti. A különböző fizikai folyamatokban geometriailag nagyon hasonló fraktálok megjelenése általában azzal magyarázható, hogy a hasonló struktúrákhoz vezető folyamatokat jellemző alapmennyiségek azonos egyenleteknek felelnek meg. Itt elsősorban a Laplace növekedésre elméletére gondolunk, ahol pl. a koncentráció (vagy általánosságban egy tér jellegű mennyiség) eloszlása a Laplace-tgyenletnek tesz eleget. A fraktálgeometria nemcsak eszköze lehet a hidraulikai folyamatok modellezésének, hanem azáltal hogy számos egyébb interdiszciplináris tudományterületen alkalmazása nagyobb múltra tekinthet vissza, az ott kidolgozott elméletek értelmezésével, az egyes folyamataival való megfeleltetéssel közelebb kerülhetünk a hidraulikai jelenségek jobb megértéséhez, (pl. a szivárgó folyadék statisztikai jellemzésére létrehozott perkolációelmélet (Broadbent és Hammersley,