Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)
3. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor–Maginecz János: Szivárgáshidraulikai folyamatok vizsgálata numerikus modellezés és kisminta kísérletek útján
138 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1995. 75. ÉVF. 2. SZ^JVI ^ NE +^SE k N W+k s w /T . . . ' = Itt k^y jelöli a (kJ), (k+\J), (k+lj+l), (kj+1) rácspontok meghatározta cellához rendelt szivárgási tényezőt, s.í.t. (ld. az 1.ábrát). A (3) séma érvényes minden olyan C rácspont esetén, mely a szivárgási tartomány belsejébe esik, azaz nem illeszkedik a peremre. Külön kell szólni a peremfeltételek diszkretizációjáról. Ha egy rácsponttal együtt mind a négy szomszédos rácspont is a szivárgási tartomány belsejébe vagy annak peremére esik, a rácspontot belső rácspontnak tekintjük, és felírjuk rá a megfelelő (3) sémát. Ha a rácspont valamely szomszédja kívül esik a szivárgási tartományon (de maga a rácspont nem), akkor a szóbanforgó rácspontot perempontnak tekintjük (még akkor is, ha nem pontosan illeszkedik a peremre): itt a (3) séma megkövetelése helyett nyilván más diszkretizációt kell végrehajtani. Ha egy C peremponton a <p potenciál előírt, akkor a megfelelő <p c érték adott, így ez a pont nem ad külön ismeretlent. Ha a C perempont vízzáró határolásra illeszkedik (tehát itt a k-d(p/dn = 0 peremfeltétel approximálandó), akkor igazolható, hogy a feladattal konzisztens diszkretizációt nyerünk, ha a C perempontra ugyancsak a (3) sémát írjuk fel, de a tartományon kívüleső szomszédos rácspont (ok)ra vonatkozó együttható(ka)t zérusnak definiáljuk. Megjegyzés: Ezt az állítást nem bizonyítjuk (ld. Marcsuk (1976)), de fizikai jelentése szemléletesen nyilvánvaló. Egészítsük ki ui. a szivárgási tartományt az ilyen perempontok mentén olyan cellákkal, melyekhez 0 szivárgási tényezőt rendelünk. Világos, hogy ezzel a fizikai folyamat nem változik. A kiegészítés eredményeképpen viszont a szóbanforgó perempont belső ponttá válik, és így rá felírható a (3) séma, mely könnyen láthatóan független attól, hogy a külső rácsponthoz milyen időértéket rendelünk (ui. együtthatója a (3) sémában zérus). Multigrid (töbhhálós) megoldás A (3) séma a diszkretizált peremfeltételekkel együtt egy lineáris algebrai egyenletrendszert ad az ismeretlen diszkrét <p kj értékekre nézve. Az ismeretlenek száma alkalmasint meglehetősen nagy, több tízezer is lehet. Világos tehát, hogy megoldási módszerként direkt módszerek - mint pl. a Gííw.v.v-elimináció - szóba sem jöhetnek. Márpedig az egyenletrendszert nemcsak megoldani kell: az is szükséges, hogy a megoldás kellőképpen gyors is legyen. A (3) sémából származó egyenletrendszer legegyszerűbb és legkézenfekvőbb iterációs megoldási módszere a Seidel-iteráció, melyekben a diszkrét <p cértékeket mindig a sémából közvetlenül következő , = aNV>N + aW<Pw + asVs + c lE? E (4 ) ífL aN+ aW + í lS + aE formulával újítjuk fel, és minden további iterációban az éppen felújított értékekkel számolunk. Az iteráció eredménye természetesen függ a rácspontok bejárásának sorrendjétől: a gyakorlati tapasztalat szerint célszerű a pásztázás irányát az egymásutáni iterációk alkalmával váltogatni. A (4) Seidel-iteráció programozása - bármilyen magasszintű programnyelven - rendkívül egyszerű, memóriaigénye minimális, és (a vizsgált feladatosztályra) mindig konvergens. Hátránya, hogy a konvergencia nagyobb rácspontszám esetén (mintegy tízes nagyságrend felett) igen lassú, és a rácspontok számának növelésével tovább lassul. Ezt a hátrányt küszöböli ki a multigrid (többhálós) technika, mely minimális többletmunkával a konvergenciát akár nagyságrendekkel felgyorsítja. Sőt, igazolható, hogy a megoldás számításigénye kb. arányos a rácsponti ismeretlenek számának első hatványával, ami nagyon jó eredmény, ld. a bevezetőben említetteket. A legegyszerűbb multigrid elv éppen az előző, a konvergencia lassúságára vonatkozó megjegyzésen alapszik, azt "visszafelé" alkalmazva. Nevezetesen, használjunk először egy igen durva diszkretizációt (1-2 belső rácsponttal): világos, hogy a megfelelő diszkrét egyenletrendszer nagyon gyorsan megoldható a (4) Seidel-iteráció néhányszori alkalmazásával. A probléma most az, hogy ez a durvahálós megoldás nagyon távol áll a valódi megoldástól. A közelítést javítandó, vezessünk be most egy finomabb hálót, és alkalmazzuk azon ismét a (4) iterációt az előző, durvább hálós megoldásból mint kezdeti közelítésből kiindulva. Így az iteráció szerepe csak e kezdeti közelítés javítása, ami lényegesen kevesebb iterációt igényel, mintha egy rossz közelítésből pl. azonosan O-ból indítottuk volna az iterációt. Szükség esetén az így nyert megoldást egy még finomabb hálón tovább lehet javítani, s.í.t., míg a legfinomabb hálót el nem érjük. Ez a fokozatos finomítási stratégia ily módon először a megoldásfüggvény nagyléptékű menetét rekonstruálja, majd az egyre kisebb léptékű változások is előtűnnek az egyre finomabb hálókon. A gyakorlati tapasztalat azt mutatja - és ez matematikailag is igazolható, ld. Stüben és Trottenberg (1984) -, hogy minden diszkretizációs szinten elegendő csak néhány (3...5) iteráció elvégzése, a háló finomságától függetlenül: következésképp a teljes eljárás műveletigénye alig több, mint a legfinomabb hálón elvégzett Se/V/eZ-iterációké, ami a durvább hálók segítsége nélkül még igen messze volna a pontos megoldástól. A durvább hálók definiálása célszerűen a finom háló "ritkításával", azaz minden második rácsvonal elhagyásával történik. így az eggyel durvább háló lépésköze 2Ax ill. 2Ay: ebből hasonlóan nyerjük a (4Ax ill. 4Ay lépésközű) következő hálót, s.í.t. A hálósorozat exponenciálisan ritkul, így az össz rácspontszám nem sokkal haladja meg a legfinomabb háló rácspontjainak számát: négyzet alakú tartomány esetén, ha a legfinomabb hálón N
