Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)
3. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor–Maginecz János: Szivárgáshidraulikai folyamatok vizsgálata numerikus modellezés és kisminta kísérletek útján
GÁSPÁR CS.-SZÉL S.-MAGINECZ J.: Szivárgáshidraulikai folyamatok vizsgálata 139 rácspont van, az összes rácspontok száma a 1 1 4 N+1N+—N+... = —N 4 16 3 számmal becsülhető. Ha egy szinten az iterációt befejeztük, a fentiek értelmében szükséges a diszkrét megoldás kiterjesztése az eggyel finomabb hálóra. Ez többféle módon is megtehető. A legkézenfekvőbb a teljes súlyozás módszere, amely a 2. ábra jelöléseivel a következő alakba írható: kl CM k3 k4 dy Ali Ax Ax j4l/2 k k+1/2 k+L 2. ábra. Jelölési vázlat a kiterjesztés definíciójához (f >k*\!2J f>kj* 1/2 fkj + <Pk* 1, <Pkj +*kj+l fk*\/2j+m Vkj^k+lj^k+lj+l+Vkj+l Azaz, ha a finomhálós megoldás egyidejűleg a durvább hálóra is illeszkedik, a megfelelő <^-érték maradjon változatlan: a durvahálós él- és cellaközéppontokhoz pedig rendeljük az él-végpontokhoz ill. cella-csúcspontokhoz rendelt v?-értékek számtani közepét. Nem magától értetődő még a k tényező értékeinek alkalmas definiálása a durvább hálókon. A 3.ábra jelöléseivel, a probléma az, hogy a durvább, 2Ax, 2Ay oldalhosszúságú cellához milyen /c-értéket rendeljünk, ha a finomabb, Ax, Ay oldalhosszúságú cellákon rendre kj, k2< ^4 szivárgási tényezők érvényesek. Részletekbe bocsátkozás nélkül megemlítjük, hogy a kézenfekvőnek tűnő számtani középérték nem a legmegfelelőbb: gyorsabb konvergencia érhető el a 3. ábra. Jelölési vázlat a k tényező durvahálós definíciójához Megjegyzés: E definíció 1 dimenzióban szemléletes fizikai jelentéssel bír: azt fejezi ki, hogy az egymásutáni hidraulikai ellenállások összegződnek, ezért a vezetőképességek (a szivárgási tényezők) harmonikus közép szerint átlagolódnak (pontos analógiában az elektromos ellenállások ill. vezetőképességek soros kapcsolásának esetével). A fentebb vázolt multigrid eljárás lépései tehát a következőkben foglalhatók össze. 1. Definiáljuk a legfinomabb (Ajc, Ay lépésközű) hálót, majd abból fokozatos felezéssel az egyre durvább hálókat. Mindegyik hálón definiáljuk a k tényező értékeit az egyes cellákon, a finomabb hálón adott értékek harmonikus közepelésével. 2. A legdurvább hálón oldjuk meg a megfelelő diszkrét feladatot a (4) .Sí-íV/f/-iteráció többszöri alkalmazásával vagy bármely más módon. 3. Terjesszük ki a diszkrét megoldást a következő finomabb hálóra. 4. Alkalmazzunk a finomabb hálón néhány (3...5) Seideliterációt a (4) formula szerint. 5. A 3.-4. lépéseket ismételjük addig, míg a legfinomabb hálót el nem érjük. Megjegyzés: A most definiált, legegyszerűbb multigrid módszer későbbi céljainknak megfelel, ezért ezt tovább nem tárgyaljuk. Megjegyezzük viszont, hogy a multigrid technika még messzemenően általánosítható ill. javítható, mellyel a konvergenciasebesség tovább fokozható, és a számításigény tovább csökkenthető. Egyik ilyen javítási lehetőség a következő észrevételen alapszik. Ha adott egy A<p-f (5) k :•• 1 1 1 + + +_ k 2 k 3 lineáris egyenletrendszer (ahol A egy /iX«-es mátrix, f /(-elemű vektorok) és <p' ennek egy tetszőleges közelítő megoldása, akkor a pontos <p megoldás nyilván előáll harmonikus közép alkalmazásával.
