Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)
3. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor–Maginecz János: Szivárgáshidraulikai folyamatok vizsgálata numerikus modellezés és kisminta kísérletek útján
GÁSPÁR CS.-SZÉL S.-MAGINECZ J.: Szivárgáshidraulikai folyamatok vizsgálata 137 kedő források ill nyelők intenzitását írja le: amennyiben forrás ill. nyelő nincs a tartományban, a be- és kiszivárgás csak a határon keresztül történik, (1) jobboldala azonosan 0. Az (1) egyenlet az íí-val jelölt szivárgási tartomány belsejében érvényes. Az 0 tartomány határán peremfeltételek előírása szükséges az (1) egyenlet egyértelmű megoldhatósága érdekében. Ezek legtöbbször a potenciál vagy a kifelé mutató gradiens előírását egy-egy peremszakaszon. Speciálisan, ahol a szivárgási tartomány szabad víztérrel érintkezik, ott <p megegyezik a vízfelszín geodetikus magasságával; vízzáró határolásnál a k-d<p/dn = 0 peremfeltétel teendő (ahol n jelöli a kifelé mutató normális irányt). Diszkretizálás Az (1) egyenletet véges differencia módszerrel diszkretizáljuk ill. oldjuk meg numerikusan. E célból fedjük le fit egy egyenletes, ekvidisztáns ráccsal: az egyes rácspontok koordinátái legyenek P k^ := (x kj,y k^), ahol a k, j sor- ill. oszlopindexek befutják a 0,1, ...,/uIl. a0,1 ,...,m számokat. A szomszédos rácspontok távolsága legyen állandó: A* := xk*\J~ xkJ A-v := y k J*\ -y k. minden szóbajövő k, j indexre. A P k• rácsponthoz rendeljük hozzá a <p kj értéket, mely a <p(x kj,y k j) értéket hivatott approximálni. Ha speciálisan a k szivárgási tényező állandó egy P kj rácspont olyan környezetében, mely a szomszédos rácspontokat magában foglal ja, akkor (1) baloldala jól approximálható a standard 5-pontos dífferenciasémával (,Marcsuk (1976)): (di\kgrdd<f>)(x kj,y kj) <f>k+lj-' h* >kj+<< >kkl J Ax(2) h <Pkj+\2*kj +nj\ + r Av" kJ ahol az r kj maradéktagra teljesül az rkJ < C-(Ax 1+Ay~) írható: ^ <P w-2<p c + <p E + <p N-2<p c + <p s Ax~ Ay l ahol a C pont befutja az össze belső (peremre nem illeszkedő) rácspontot. (2) származtatása egyszerűen a fellépő deriváltaknak szokásos véges differenciákkal való helyettesítésén alapul, melyek a 7a_y/or-formulából nyerhetők. Amennyiben k nem állandó, a megfelelő differenciaséma kissé bonyolultabban származtatható. Integráljuk a divA:grady> kifejezést egy C középpontú, Ax, Ay oldalhosszúságú T téglalapon (l.áhra)\ akkor a Gree/í-formulából: N k NU 1 1 __ kNE C ' i 1 _ _ k 5 SU 1 T 1 kSE 1 .ábra. Jelölési vázlat a differenciaséma származtatásához I div^gradsű dT = \k- — dy \ l d" ahol 7 jelöli a T téglalap határát. Innen világos, hogy a megfelelő séma konstruálásához elég a d<pldn fluxusokat approximálni az eredeti (másodrendű deriváltakat tartalmazó) differenciáloperátor helyett. A k együtthatófüggvény értékeit szokásos módon a rácspontok helyett az egyes cellákra vonatkoztatva, és egy-egy cellán belül konstansnak feltételezve, a következő sémát nyerjük: a N<p N + a w<p w + a s<p s + a E<p E ~(a N+a w+a s+a E)-<p c = 0 (3) becslés valamely &-tól, y'-től független C konstanssal, tehát gyorsan zérushoz tart, ha Ar, Av elég kicsik, azaz a rács elég finom. A (2) formulában az indexelés a következő konvenció szerint egyszerűsíthető. Jelöljön C egy centrálisnak nevezett (kJ) indexpárt, és jelöljük rendre N, W. S, Evel az égtájaknak megfelelő irányban levő szomszédos rácspontokat, azaz a (A:^' -t-1 >, (k-\J), (kj-l), (k+lj) indexpárokat. Akkor a (2) séma a következő formába ahol kNW + kNE 2Ay 2 lS • k SW + kSE 2Ay 2
