Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)

3. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor–Maginecz János: Szivárgáshidraulikai folyamatok vizsgálata numerikus modellezés és kisminta kísérletek útján

136 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1995. 75. ÉVF. 2. SZ^JVI sűrítése feleslegesen sok ismeretlen bevezetésével jár, ami önmagában még nem feltétlen okoz problémát, de a diszkrét egyenletrendszer megoldását nagyon lelassítja. Sokkal rugalmasabb módszer a véges elemek módszere (ld. pl. Connor és Brebbia, 1976) ahol a számítás egy nem feltétlen egyenletes - hálón történik, mely a szivárgási tartománynak valamilyen sokszögrendszer (legtöbbször háromszögek vagy négyszögek) általi lefedéséből származtatható. A diszkrét egyenletek itt az eredeti differenciálegyenlet e sokszögeken történő integrálásával nyerhetők. A diszkrét egyenletrendszer mátrixa továbbra is ritka, de általában bonyolultabb struktúrájú, és a mátrixelemek bonyolultabb számítás árán nyerhetők. Ez a körülmény csökkenti azt az előnyt, hogy a térbeli felbontás nagyon jól szabályozható: hangsúlyozzuk azonban, hogy egy igazán jó struktúrájú háló numerikus generálása egyáltalán nem triviális, és sokszor azonos bonyolultságú a vizsgált fizikai (estünkben: szivárgási) probléma megoldásával. Mintegy átmenetet képez a fenti két módszer közt a görbevonalú koordinátarendszerek alkalmazása. Ekkor a számítási tartományt görbevonalú négyszögekkel fedjük le: másszóval, a problémát egy másik koordinátarendszerbe transzformáljuk, ahol aztán egyszerű véges differencia módszert alkalmazunk. A koordinátarendszer transzformációja egyrészt lokális sűrítéseket tesz lehetővé, másrészt azonban többé-kevésbé elbonyolítja az eredeti differenciálegyenletet, így a megoldandó feladatot. Az adatstruktúra éppoly egyszerű, mint a véges differencia módszer esetén, de a mátrixelemek előállítása - a transzfomációtól függően - több számítási munkát igényel. Egy más lehetséges továbbfejlesztése a véges differencia módszernek az, ha derékszögű, de egyenlőtlen rácsokat (hálókat) használunk, mindig csak ott sűrítve, ahol azt az adatok ill. a megoldás várható viselkedése szükségessé teszi. Ilyen típusú hálók nagyon kényelmesen, és főleg nagyon olcsón, tehát csekély számítógépes ráfordítással állíthatók elő az ún. quadtree algoritmus alapján. Ez a megközelítés lehetővé teszi a bevezetett ismeretlenek számának drasztikus csökkentését (a csökkenés mértéke akár nagyságrendnyi vagy még több is lehet!): részletesebben ld. Gáspár et al (1994a,b\ 1995a,b). Látszólag egész más, mégis sok szempontból rokon megközelítés az ún perem-integrálegyenlet módszer. Ez azon a felismerésen alapszik, hogy bizonyos egyenletek, így pl. a permanens, homogén és iozotróp közegen keresztüli szivárgást leíró Laplace-cgyenlet megoldásai előállíthatók olyan egyszerű függvények szuperpozíciójaként, melyek a tartomány belsejében automatikusan kielégítik a differenciálegyenletet, a peremen pedig szingularitásuk van. Ily módon a diszkretizálás során csak a perem mentén kell ismeretleneket bevezetni, ami szintén igen nagymérvű ismeretlenszám-megtakarítást tesz lehetővé (Ligget és Liu (1983); Gáspár (1982)). A módszer hátránya, hogy sokkal szűkebb feladatosztályra alkalmazható - így pl. általános, inhomogén szivárgásra az alapmódszer nem, ill. csak trükkös továbbfejlesztések után alkalmas -, valamint az, hogy az így kapott algebrai egyenletrendszer struktúrája sokkal kedvezőtlenebb: nem szimmetrikus és teljesen kitöltött mátrixú, ami a numerikus megoldás műveletigényét tetemesen megnöveli, tekintve, hogy jobbbára csak a hagyományos Gausselimináció jöhet szóba. Minden eddig említett módszer közös jellemzője, hogy egyetlen számítási rácsot (hálót) használ, és az adott feladatot ezen diszkretizálja. Ezt a rácsot úgy igyekszünk felvenni, hogy a lehető legfinomabb legyen, azaz a lehető legnagyobb térbeli felbontást nyújtsa. Igen érdekes és meglepő, hogy a számítás sebessége többszörösére sokszor nagyságrendekkel is! - felgyorsítható, ha egyidejűleg durvább hálókat és többszintű diszkretizációt is felhasználunk a számítások során. Ezen alapulnak az ún. többhálós vagy multigrid módszerek, melyek alapjait Federenko rakta le a hatvanas évek elején, és melyek kutatása az utóbbi 15 évben vett új lendületet (Brandt (1984); Stüben és Trottenberg (1984); Hackbusch (1985)). A multigrid elv az összes, fentebb említett módszerben felhasználható. Eredetileg a véges differencia módszerekre fejlesztették ki (Brandt (1984)); analóg módon lehet végeselemes környezetben is felépíteni (Craig és Zienkiewicz (1985)). Egyenlőtlen (quadtree-) hálók esetére ld. Gáspár és munkatársai négyrészes cikksorozatát (Gáspár et al (1994a,b; 1995<t,b)): ami a peremintegrálegyenlet módszert illeti, itt utalunk a következő dolgozatokra: Hackbusch (1985a); Gáspár (1990; 1994), ill. magyar nyelven Gáspár (1991). Az a sajátos helyzet alakult tehát ki, hogy míg a bonyolultabb perem-integrálegyenlet módszerrel ill. az egyenlőtlen quadtree-hálókkal kapcsolatosan a multigrid módszerről már megjelentek magyar nyelvű dolgozatok a HK hasábjain, addig az egyszerűbb ekvidisztáns véges differencia módszerrel összefüggésben még nem. Jelen dolgozatunkkal ezt a hiányt szeretnénk pótolni. Az eljárást kétdimenziós permanens Darty-féle szivárgásra alkalmazva mutatjuk be: a szivárgás rétegzett, tehát szakaszonként homogén közegben történik, a szabad felszín, bár kialakul, hatása jelentéktelen. A számításokat kisminta kísérletek eredményeivel vetettük össze, melyekkel jó egyezést mutattak. A kisminta kísérletek kivitelezésére a 711.sz. OTKA-pályázat keretében a VITUKI-ban került sor. A probléma matematikai megfogalmazása A kétdimenziós permanens, izotróp Darcy-\'é\c szivárgást matematikailag a következő differenciálegyenlet írja le (Kovács (1972)): á\\kgvddíp =0 O ahol <p a sebessépoteneiál, melyből a szivárgási sebesség a v = — £-gradip összefüggés alapján számítható. A k skalárfüggvény a szivárgási tényező, melynek értéke helyről helyre változhat: esetünkben egy-egy résztartományon belül konstans. (1) jobboldala a tartomány belsejében elhelyez-