Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)

4. szám - Hankó Zoltán: A hullámmozgás és a nyíltfelszínű vízmozgás kölcsönkapcsolata

HANKÓ Z.: A hullámmozgás és a nyíltfelszínű vízmozgás 215 •tj - 2AJ/i exp(*/)) cos kje cos k^y • exp[k

z(D+z)] + exp[-*

z(ű+z)] • cos at • -7A

lh exp (kp) cos k^c cos k^y cosh k

z(D + z) cos at. (20/e) A másik állandó határfeltétel a hullámzó vízfelszín leírását jelentő összefüggés. A felszínen z = r| és a túlnyomás (p) egyenlő zérus. Ezeket figyelembe véve a (11/b) szerinti mozgásegyenlet átrendezhető, éspedig ira* ,.a®l (21/a

) 3Q + v dt dx Feltételezve, hogy a hullámmagasság a vízmélységhez képest elhanyagolhatóan kicsi, azaz r\/D -» 0, akkor 1 11

! 8 dí> „ 3<t> — + u— dt dx (21/b) Ezt alkalmazva az első partikuláris megoldás (20/e) szerinti alakjára: 2A.h exp (kp) ti - cosh kp cos kv (a cos kx sin oí + 8 + U k

x sin kje cos at) = 24; h exp (kp) = a cosh kD cos ky cos k x sin oí(l + a z y X Uk

x + tg kx cotg at). a (20/f) Az x = y = 0 helyen (a koordináta rendszer origójában, a hullám keletkezési helyén), ha 2 n + 1 , '—-—re es n~ 0,1,2,..., at• akkor rí =±a a hullám kezdő amplitúdója, mert ez esetben cos kje cos kj> sin at = ±1 és tg kje cotg at = 0, tehát + a = + — Aj h exp (kp) cosh kp, azaz g 2A

l

h ^m-^tkp és így a (19/a-h) partikuláris megoldások: a„ cosh k

z(D + z) <!>,«-—

6 — cos k y cos k x cos at 1 a cosh kp y * <X>. ap cosh *(ű + z) 2 ö cosh kp cos k y cos k x sin at y x a„ cosh k

z(D + z) , = - —° -———— sin ky cos kx cos at 3 o cosh kp y * a

R cosh k

z(D + z) <X>, - + ——— sin kv cos kx 4 o cosh kp r * sin at aa cosh k

z(D + z) <1>, - - 1

6 ——r— cos k y sin k x cos at a cosh kp r * ao cosh k

z(D + z) - + r"—;— cos k sin kx sin at 6 a cosh kp y r aa cosh k

z(D + z) - - , „— sin k sin k x cos at 7 o cosh kp y * a„ cosh k

z(D + z) - + 0 ——— sin k sin kx sin at 8 a cosh kp y ^ (20/g) (20/h) (20/i) (20/j) (20/k) (22/a) (22/b) (22/c) (22/d) (22/e) (22/£) (22/g) (22/h) nyek, így azok algebrai összege adja a keresett megoldást. Pl.: a„ cosh & (ű+z) *«"*!- o cosh*/) 00

5 cosh * (ű+z) + " a cosh*/) SÍ

n V

S

Í" " a„ cosh * (ű+z) o cosh*/) C0S

(^ + ^

CTÍ

)' ®

6-®

1 + ®4 + ®

7' Az első, a negyedik, a hatodik és a hetedik partikuláris megoldás - fent bemutatott - szuperpozíciójából adódik a +x, 0, +y síknegyedben a +x és +y irányában haladó hullám sebességpotenciálja. A fennmaradó négy partikuláris megoldás alkalmas szuperpozíciója — ugyanebben a síknegyedben - a —jc és -y tengelyek irányába haladó hullám sebességpotenciálját szolgáltatja. A nyolc partikuláris megoldás további két - alkalmasan választott - szuperpozíciójával a fennmaradó két lehetőség (ugyanebben a síknegyedben a +x, -y és a -x, +y tengelyek irányában haladó hullám esete) is létrehozható. Végeredményben az alábbi négy alapvető sebességpotenciál függvény alkalmas megválasztásával bármely térbeli (háromdimenziós) hullámmozgás leírható a +x, 0, +y síknegyedben: ao cosh * (D + z) cosh k

p 008 {

k* + ky

y~ at

)'

(+

x'

+y)i (23/a

) a> o aa COSh k(D + z) *» - a cosh k

p m

S ^ + "V - ("*• ->") i (23/b) Ű

E cosh k (D + z) " o cosh*/

) 00

8 ~ V " G/

)'

(+

x' ~

y

)' (23/c

) 4> A' ap cosh * (D + z) . ^ 5 Ezek a partikuláris megoldások lineáris függvéo cosh k

p ™ + V - aí

)'

(23/d) A fenti kifejezésekben: a [m] - a hullám amplitúdója, g = 9,81 m/s

2 - a földi nehézségi gyorsulás normál értéke, + le* = k*, ahol 2n k

2 = —[l/m] - a hullámszám, o = 2x/T [l/s] - a hullámmozgás szögfrekvenciája, L[m] - a hullámhossz, az egymás után következő hullámok, egymásnak megfelelő pontjai közötti távolság, 7|s] - a hullámmozgás periódusideje, azaz az az időtartam, ami szükséges ahhoz, hogy a periodikus mozgás során egyazon pontban ugyanaz a jelenség előálljon, Z)[m] - a permanens, egyenletes, nyílt felszínű vízmozgás vízmélysége, a k„ ky, k

z és a pozitív, valós szám. A nyílt felszínű vízmozgás és a hullámmozgás kapcsolata (A geometriai, a hidraulikai és a hullám-jellemzők összefüggése) A korábbiakban már feltételeztük, hogy a vízfelszín függőleges irányú kimozdulása a középértékhez képest (a hullámmozgás következtében) elhanyagolhatóan kicsi a vízmélységhez viszonyítva. Az ilyen kis ampli-