Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)
4. szám - Hankó Zoltán: A hullámmozgás és a nyíltfelszínű vízmozgás kölcsönkapcsolata
216 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1994. 74. ÉVF. 2. SZÁM túdójú hullámmozgás esetén a felszín bármely pontjában a vízfelszín időbeli változása közelítőleg egyenlő a nem permanens (periodikus) sebesség függőleges összetevőjének felszíni értékével. Mivel feltételeztük a kis amplitúdójú hullámmozgást, ezért a felszíni érték közelíthető a z = 0 helyen vett értékkel. így + + 1*1.4!.] (25/a) dt dt ' dt dx dt dy dt ' v ' Mivel dz_ _ S<í> d y _ ^ dt dz' dt Ő<D , dx • —es — dy dt z-0 U + u = Udd> dx (25/b,c,d) es továbbá valamint dt ' g ia I dx g ÜH I dy g d 2® T r a 2<t Z- + U dt 2 dxdt d 2<t> á 2<E dxdt + dx 2 d 2® T 1 d 2® — + u dydt dxdy (25/e) (25/f) (25/g) és így a (25/b-g) kifejezéseket behelyettesítve a (25/a) egyenletbe kapjuk: „ r a 2o r,a 2<t 0= + + dxdt (dxdt dx~ | v dx ' ( dydt dxdy) dy J (25/h) A kijelölt műveleteket elvégezve és feltételezve, hogy jogunk van a másodfokú tagokat az elsőfokúakhoz viszonyított kicsiségük miatt elhanyagolni, kapjuk a permanens, egyenletes, nyílt felszínű vízmozgásra szuperponált háromdimenziós hullámmozgás alapvető összefüggését: „ [ a 2o _ r,d 2<D n a 2o "1 .... o = Z-T- + —T + 2£/ -T-T- + U T~T • ( 2 6) L á dz dt 2 dxdt dx 2 J z=o v ' Fenti alapvető összefüggés meghatározása során feltételeztük, hogy - a folyadék összenyomhatatlan, - a mozgás súrlódás nélküli és örvénymentes, - a mozgásegyenlet lineáris, mert a másodfokú tagok elhanyagolhatók az elsőfokú tagok mellett, - a hullám amplitúdója elhanyagolhatóan kicsi a vízmélységhez viszonyítva. Állóvízi hullám esetén, amikor U = 0 az alapösszefüggés: + ( 2 7/ a) A (23/a-d) sebességpotenciál függvények bármelyikét alkalmazva azonos eredményre kell jussunk. Példaképpen válasszuk a (23/d) egyenletet. Ebből következik, hogy a„ sinh k z(D+z) ' ^ a z coshkD + * A szerző' hálás dr. Gáspár Csaba alkalmazott matematikusnak, hogy felhívta a figyelmét arra, hogy a vízszintes, folyásirányú összetevő' nemcsak másodfokú, hanem elsó'fokú tagokat is tartalmaz (ellentétben az erre merőleges vízszintes összetevővel). a„ cosh k z (D+z) -i -° 2 , z, „— cos (-kx + ky-ot) I „ = 0 a cosh kp v ^ ;J Z= 0 és rendezve: g k z tanh kJD = a 2, (27/b) a már ismert összefüggéshez jutunk. Az állóvízi hullám terjedési sebessége: = " V f tanh*ű, (27/c) illetőleg z z gT , 2nD = B— tanh c tanh ; „ , 5 2 n cT S vagy az állóvízi hullám hossza: L-^ tanh^ (27/d) (27/e) 2* L ' s azaz a hullám terjedési sebessége (vagy a hullám hossza) a periódusidő és a vízmélység ismeretében fokozatos közelítéssel számítható. A (27/c-e) egyenleteknek három tartományát különíthetjük el. A legalsó tartomány az ún. sekélyvízi hullám, amikoris a hullám hossza legalább húszszorosa a vízmélységnek, azaz D/L<-^~< 1/20, illetve kfi < Ji/10 200 (27/f) akkor sinh kp — tanh kp -* kp és cosh kp — l. (27/g) Ezeket a közelítéseket figyelembe véve a sekély, állóvízi hullám teijedési sebessége az ismert: c^-yígD (27/h) és a hullám hossza: L^-TVgD. (27/i) A legfelső tartomány a mélyvízi hullám esete, amikor is D/L >1/2, illetve kp > jt (27/j) Ebben az esetben tanh lqD -» 1 és (27/k) a mély, állóvízi hullám terjedési sebessége: (27/1) Z és a mély, állóvízi hullám hossza: z A közbenső tartományban csak a (27/c,d,e) összefüggések alkalmazhatók. Térjünk vissza (26) alapegyenlethez, azaz U = állandó sebességű (permanens, egyenletes), nyílt felszínű vízmozgásra szuperponált hullámmozgáshoz. Az alapösszefüggésben nem szerepel a hullámnak az alapáramlás sebességvektorára merőleges vízszintes sebesség-összetevője, így csak azok között az esetek között kell különbséget tennünk, amikor a hullám folyásirányú terjedési sebessége az alapáramlással azonos, illetőleg ellentett értelmű. Fentiek nyomán kJ> + ) és kj + í jellel jelöljük a (23/a és c) sebesség potenciál függvényében alkalmazott jelöléseket, ky tetszőleges értelme/előjele mellett, mert ez esetben a hullám folyásirányú terjedési sebessége az alapáramlással azonos értelmű, és kj-'^ és kj-'^ jelet alkalmazunk a (23/b és d) sebességpotenciál függvények esetében, mert ezek a folyásiránnyal ellentett értelmű hullám-terjedést írnak le, ky tetszőleges értelme/előjele mellett. A (23/a) sebességpotenciál függvényt alkalmazva a (26) alapösszefüggésben (az alapáramlással azonos értelemben tetjedő hullám) kapjuk:
