Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)
4. szám - Hankó Zoltán: A hullámmozgás és a nyíltfelszínű vízmozgás kölcsönkapcsolata
214 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1994. 74. ÉVF. 2. SZÁM Ebből következik, hogy gz = F z(x,y,t) -F Xi y(z,t) (10/c) kell legyen. Minthogy a baloldal független az x,y koordinátáktól (ha eltekintünk attól, hogy a nehézségi gyorsulás függ a földrajzi helytől, mert esetünkben a kis/geometria távolságon belül állandónak tekinthetjük), ezért szükséges, hogy F^ y(z,t) = F z(t)-gz. (10/d) Ezt visszahelyettesítve a (9/a,b,c) egyenletekbe kiderül, hogy a mozgásegyenleteknek a tér három koordináta tengelye irányába eső összetevője azonos alakúvá válik, nevezetesen d<X> dt U 3<P dx 1 + 2 d<t> dx (?) aa >\ dz j p + £ + gZ. F(t). (11/a) Az F(r) függvény beépíthető a <í>(x,y,z,t) függvénybe és így az általános alkalmazhatóság csorbítása nélkül a jobb oldal zérussal tehető egyenlővé. Feltételezve továbbá, hogy a másodfokú tagok az elsőfokú tagokhoz viszonyítva elhanyagolhatóan kicsinyek és ezért elhagyhatók, akkor a mozgásegyenlet lineárissá válik: (11/b) - — -U— + í l + gz = 0. dt Sí p 6 A (11/b) egyenlet a (7) egyenlettel együtt az U = állandó sebességű, nyílt felszínű vízmozgásra szuperponált hullámmozgás alapvető differenciálegyenlet rendszere, amelyben a [m 2/s] sebességpotenciál és a p [kg/m s 2] nyomás a két ismeretlen (mindkettő az x,y,z hely- és t időkoordináta függvénye). A sebességpotenciál függvény A fentiek szerinti differenciálegyenlet rendszert több, különböző sebességpotenciál függvény is kielégítheti. Figyelembe véve a célt (hullámmozgás leírását) jelen esetben feltételezzük, hogy $>(x,y,z,t) = <p(x) <p(y) <p(z) <p(í), (12) azaz a keresett függvény négy - egymástól független - függvény (az x,y,z hely- és t idő koordinátától függő) szorzata. Ebben az esetben a folytonossági egyenlet: V 2$ = cp(y)cp(z)cp(í) + cp(x)qp(z)cp(í) ^^ + dx dy + qj(*)(p(y)«p(í) = 0, azaz (13/a) dz 1 d\(x ) + 1 d\(y ) + 1 ő 2q)(z ) _ Q <p(*) dx 2 tp(y) dy 2 <P00 dz 2 (13/b) A hullámozgás periódikusságát is figyelembe véve feltételezzük, hogy cp(x) = a cos k^ + b sin kje és (14/a) cp(y) = c cos kyy + d sin kyy, valamint (14/b) <p(z) = f exp (k^z) + h exp (-k^z). (14/c) Ebből következik, hogy d^* ^ = -a/^sinfc r*: + b^ cos k^x és (15/a) dx ^EÍí) m - a kl cos kj - b sin kje, tehát (15/b) dx 1 a^) = _ ^ valamin t (is/e) qp(x) dx 2 4-^)=-^ továbbá (16) cpW dy 2 ^ = f k z exp (k z z)-hk z exp (~k z z) és (17/a) dz ^^ = f exp {U) + h ^ exp (kj), tehát (17/b) dzr (17/c) <p(z) dz 2 V ; A (15/c), (16) és (17/c) összefüggéseket a (13/b)-be visszahelyettesítve kiviláglik, hogy a folytonosság feltételét a (12) és a (14/a,b,c) alakú sebességpotenciál függvény kielégíti, ha a % + q = (18) feltétel teljesül. A (18) egyenlet szerinti feltételt teljesítettnek feltételezve a sebességpotenciál függvény az alábbi alakú lesz: <J>(jc,y^,t) = (a cos kjc + b sin k^c) (c cos k yy + ] cos ot sin at í 1 9) ahol az időbeli periodicitást n/2-vel eltolt alternatívában fejezi ki a (19) egyenletben a koszinusz és szinusz időfüggvény. Ebből az összfüggésből az alábbi partikuláris megoldások származtathatók: <!>, = A 1 cos kje cos k yy [f exp (k zz) + h exp (-&/)] cos at (19/a) <J> 2 = A^ cos kje cos kv [f exp (k^z) + h exp (-k^z)j sin at (19/b) <í> 3 = Aj cos kje sin k v[f exp (k^z) + h exp (-£/)] cos at (19/c) <I> 4 = A 4 cos kje sin kv [f exp (k^z) + h exp (-£/)] sin at (19/d) <1> 5 = A 5 sin kje cos kv [f exp (k+ h exp (-k^z) j cos at (19/e) í> 6 = A 6 sin kje cos kv [f exp (k^z) + h exp (-£/)] sin at (19/0 í> 7 = A, sin kje sin kv [f exp (k:z) + h exp (-&/)] cos at (19/g) í> g = Ag sin k ^x sin kv [f exp (kj) + h exp (-&/)] sin at (19/h) A partikuláris megoldások lineáris függvények, melyek állandóit a határfeltételekből lehet meghatározni. Az egyik általános határfeltétel, hogy a függőleges sebességösszetevő a fenéken zérus, azaz d<í> = 0 (20/a) dz z = -D Ezt alkalmazva a (19/a) egyenlet szerinti első partikuláris megoldásra ő<Dj I r | = - Aj cos kx cos kj>{k z [f exp(£ z) - h exp(-k/)Jcos at = 0. z = -D (20/b) Ebből következik, hogy f exp (-kp) = h exp (kfi), azaz f = h exp (2 kfi), (20/c,d) tehát
