Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)

4. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pavel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. II. Differenciasémák és multigrid módszerek egyenlőtlen hálókon

203 Üj szemléletmód a numerikus hidraulikában II. Differenciasémák és multigrid módszerek egyenlőtlen hálókon Gáspár Csaba Józsa János VITUKI Consult Rt. 1095 Budapest, Kvassay Jenő út 1. Simbierowicz, Pawel Teehnical Research Centre of Finland Reactor Laboratory, P.O.Box 200, SF-20151, Espoo, Finland A szerzők négyrészes cikksorozatban ajánlanak új szemléletmódot a numerikus hidraulikában. A cikkek címe: I. Egyenlőtlen hálók: generálásuk, első alkalmazások II. Differenciasémák és multigrid módszerek egyenlőtlen hálókon III. Sekély tavakban fellépő szélkeltette áramlások modellezése egyenlőtlen hálók használatával IV. Áramlási és transzportfolyamatok Lagrange-féle modellezése egyenlőtlen hálók használatával Az „új szemléletmód" lényege az ekvidisztáns véges-differenciás szemlélettel való szakítás, amelynek helyébe az annál általánosabb QT-hálók lépnek. Ez a háló térben egyenlőtlen felbontású, derékszögű, flexibilis módon generálható háló, amely egy kiindulási négyzet rekurzív, szisztematikus tovább-bontásán alapul. Ezzel a vizsgálat oda koncentrálható, ami a lényeges. A QT-hálók használatában a rács- és mátrix-szemlélet helyett gráfok lépnek fel, s az új szemléletmód további fontos eleme a multigrid technika. A QT-hálók és a multigrid technika összekapcsolása „takarékosság"-ával, számítástechnikai gyorsaságával és nagyfokú flexibilitásával versenytársává válik az eddiei megközelítéseknek. Numerikus hidraulika, áramlások modellezése, háló, gráf, multigrid, számítástechnika Kivonat: Kulcsszavak: Bevezetés Cikksorozatunk előző, első részében (Gáspár et al [1994]) áttekintettük a quadtree (QT) algoritmussal történő egyenlőtlen hálógenerálás alapvető kérdéseit és az algoritmus első, közvetlen alkalmazásait. Megállapítottuk, hogy ha adott egy Q

0 síkbeli tartomány, melyen a modellezni kívánt hidraulikai problémát vizsgáljuk, akkor a QT-algoritmussal egy olyan egyenlőtlen hálót fektethetünk e tartományra, melynek szerkezete és lokális finomsága nagyon jól kézbentartható egy alkalmas S vezérlő ponthalmaz segítségével. A vezérlő ponthalmaz lehet pl. az Q

0 tartomány pereme (ill. annak egy elég finom diszkrét felbontása), de tetszőleges egyéb pontok is hozzávehetők S-hez, miáltal a tartományban bárhol lokális sűrítések generálhatók. A tartomány tetszés szerinti alakú és többszörösen összefüggő is lehet. Bevezettük a QT-háló regularitásának fogalmát: durván szólva, a QT-háló akkor reguláris, ha a cellarendszerben a szomszédos cellák méretében nincs l:2-nél nagyobb arányú méretváltozás. A regularitás lényegesen leegyszerűsíti a QT-háló struktúráját, valamint a cellák szomszédai megkeresésének algoritmusát. Módszert adtunk a szomszédos cellák megtalálására is, felhasználva a QT-rendszer reprezentáns gráfját (mely gráfelméleti értelemben fa, azaz nem tartalmaz zárt hurkot). A mostani dolgozatban áttekintjük a QT-hálókon való véges differenciasémák felállításának problémakörét. Az előző cikkben már érintettük ennek egy természetes módját, amikor is a QT-hálókon végeselemes technikát alkalmazunk, az egyes cellák mint négyszögelemek feletti bilineáris közelítéssel, vagy pedig a QT-hálót triangularizáljuk: ekkor a háromszögelemek felett szokásos polinomális közelítéseket lehet alkalmazni. Most ehelyett egyéb differenciasémákat konstruálunk: a sémákat részint a hagyományos 7ay/or-sorfejtés módszerével állítjuk elő, részint pedig a cellák feletti integrálás útján, ami egyszerűbb alakú sémákat eredményez (ld. Gáspár és Simbierowicz [1992]). Mindkét esetben olyan sémákhoz jutunk, melyek minden egyes kiválasztott rácspontnak bizonyos szomszédos rácspontjaira támaszkodnak. Ez feltételezi, hogy a szóban forgó szomszédos rácspontok már ismertek: a szomszédok megtalálásának módszerét az előző dolgozatban már ismertettük, így ezzel a kérdéssel itt már nem foglalkozunk. Az egyszerűség kedvéért a sémákat e dolgozatban végig a Ah = 0 (1) Laplace-egyenlet példájára dolgozzuk ki, mely fizi-