Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)
4. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pavel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. II. Differenciasémák és multigrid módszerek egyenlőtlen hálókon
204 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1994. 74. ÉVF. 2. SZÁM kailag egyebek közt a stacionárius, homogén és izotróp közegen keresztüli szivárgást úja le. A sémák konstrukciója egyszerűen általánosítható az inhomogén div k grad u elliptikus differenciáloperátorra is. Az (1) egyenlet QT-hálókon diszkretizálva ily módon olyan diszkrét egyenletrendszerhez jutunk, mely a hagyományos (egyenletes, ekvidisztáns) hálókhoz képest mérsékelten sok, vagy éppenséggel kifejezetten kevés számú ismeretlent tartalmaz, hiszen e háló a tartománynak csak bizonyos, kitüntetett helyein sűrű. Kihasználva a QT-hálók gráf-struktúráját, a diszkrét egyenletekre egy természetes módon adódó multigrid (többhálós) eljárást fogunk konstruálni, mely figyelemreméltó mértékben csökkenti a hagyományos megoldási (direkt vagy iterációs) módszerek műveletigényét. Mivel pedig a fentiek értelmében az ismeretlenek száma is viszonylag csekély, az ismertetendő numerikus módszer az eddig ismert módszerek komoly riválisa lehet. Tekintsük tehát a továbbiakban az (1) Laplaceegyenletet valamely síkbeli Q tartományon. A további egyszerűsítés érdekében tegyük fel, hogy (l)-hez Dirichlet-félt peremfeltétel van csatolva, azaz u értékeit előírjuk az Q tartomány T pereme mentén. Fedjük le Q-t egy reguláris QT-hálóval: a továbbiakban ezen a rögzített QT-hálón fogunk sémákat konstruálni, ill. diszkrét egyenletrendszert megoldani. Differenciasémák konstruálása QT-hálókon a Taylor-sorfejtés alapján (a) Cella-csúcs ponti sémák Ebben a megközelítésben a rácspontok, melyekhez az u függvény ismeretlen értékeit rendeljük, a cellák csúcspontjai lesznek. Kihasználva a QT-háló regularitását, könnyű látni, hogy csak kétféle típusú, lényegesen különböző cellaelrendezés létezik egy adott C centrális rácspont körül, ezeket mutatjuk be az 1. ábrán. Az (a) esetben a C csúcsra négy (nem feltétlen egyforma méretű) cella illeszkedik. Ekkor az x-, ill. _y-szerinti második deriváltak külön-külön approximálhatók a szokásos (nem feltétlen centrális) sémákkal: a sémák egyszerűen adódnak az egyváltozós 7ay/or-formulából: 1 2 3 u(x + h,y) = u(x,y) + u x.h + -.u x x-h +0(h) (2) u(x, y + h) = u(x, y) + u y. h +— . Uyy. h 2 + 0(h 3) ahol a rövidség kedvéért az du d 2u Ux = a*^'^'"' Uxx = ~d/ jelöléseket alkalmaztuk. Az la. ábra konkrét esetében a Laplace-operátorra a következő, legalább elsőrendű approximációt nyeijük: 8u E + 4u N + 8u w + 4u s - 24u r m c=—— 3 ; —-+o(h) (3) ahol h az ábrán látható nagyobbik cella-oldalhosszúság. A (b) esetben a C csúcsra csak 3 cella illeszkedik, éspedig, a regularitás következtében ebből kettő egyforma, mondjuk h oldalhosszúságú, míg a harmadik a 2h oldalhosszúságú. Ekkor a séma konstruálásához már a kétváltozós 7űy/or-formulát kell alkalmazni: w(x+ %,u+ ti) = (4) 1 , = u(x,y) + u x.% + u y.r)+-u x x.l +u x y.^r] + + |a x v.r 1 2 + C»((| + ri) 3) Innen, rövid számolás után adódik, hogy az lb. ábra konkrét esetében: _ + Usw + 5 uN + 5 us + 4 uE - 1 6»c ,C = 6h 2 Sőt, az is könnyen megmutatható, hogy ha u történetesen kielégíti az (1) Laplace-egyenletet, akkor az (5) séma 0(h 2) pontosságú, azaz másodrendben közelít. (5) igazolásához alkalmazzuk a (4) Ja^/or-formulát az NW, SW, N, S csúcsokra: ezek után az így nyert kifejezések számtani közepét egy fiktív W ponthoz rendelve, íijuk fel C-re a szokásos 5-pontos sémát a C, N, E, S, W pontokkal. Eredményül az (5) formulát kapjuk. (b) Cella-középponti sémák Most a rácsponti ismeretleneket a cellák csúcspontjai helyett azok középpontjához rendeljük. A QT-háló regularitása miatt az előforduló cellaelrendezések most is két fő csoportra sorolhatók: mindkét csoporthoz több, de csak kevés számú eset tartozik. Egy-egy jellemző esetet mutatunk a 2. ábrán. (Aa)c + 0(h) (5) W c o E (a) a csúcspontra 4 cella Illeszkedik (b) a csúcspontra 3 cella Illeszkedik 1. ábra. Cellaelrendezések cella-csúcsponti sémák esetén
