Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)

3. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pawel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. I. Egyenlőtlen hálók: generálásuk, első alkalmazások

GÁSPÁR CS. el al.: Új szemléletmód, I. 163 Új szemléletmód a numerikus hidraulikában I. Egyenlőtlen hálók: generálásuk, első alkalmazások Gáspár Csaba, Józsa János VITUKI Consult Rt. 1095 Budapest, Kvassay Jenő út 1. Simbierowicz, Pawel Technical Research Centre of Finland, Reactor Laboratory, P.O. Box 200, SF-20151, Espoo, Finland Kivonat: A szerzők négyrészes cikksorozatban ajánlanak új személetmódot a numerikus hidraulikában. A cikkek címe: I. Egyenlőtlen hálók: generálásuk, első alkalmazások II. Differenciasémák és multigrid módszerek egyenlőtlen hálókon III. Sekély tavakban fellépő szélkeltette áramlások modellezése egyenlőtlen hálók használatával IV. Áramlási- és transzportfolyamatok Lagrange-féle modellezése egyenlőtlen hálók használatával Az „új szemléletmód lényege az ekvidisztáns végesdifferenciás szemlélettel való szakítás, amelynek helyébe az annál általánosabb QT-hálók lépnek. Ez a háló térben egyelőtlen felbontású, derékszögű, flexibilis módon generálható háló, amely egy kiindulási négyzet rekurzív, szisztematikus tovább bontásán alapul. Ezzel a vizsgálat oda koncentrálható, ami a lényeges. A QT-hálók használatában a rács- és a mátrix-szemlélet helyett gráfok lépnek fel, s az új szemléletmód további fontos eleme a multigrid technika. A QT-hálók és a multigrid technika összekapcsolása "takarékosság"-ával, számítástechnikai gyorsaságával és nagyfokú flexibilitásával versenytársává válik az eddigi megközelítéseknek. Kulcsszavak: numerikus hidraulika, áramlások modellezése, háló, gráf, multigrid, számítástechnika Bevezetés A vízmozgás és a benne lejátszódó transzportfolyamatok matematikai leírása, mint az közismert, bizonyos többé-kevésbé bonyolult parciális differenciálegyenletek segítségével történik. A numerikus hidraulikában az alapfeladat ezen parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása, miután analitikus megoldást találni a gyakorlati feladatok túlnyomó többségében reménytelen. A numerikus megoldás mindig feltételez valamilyen térbeli diszkretizációt, mellyel az eredetileg végtelen számú geometrikai, hidraulikai és egyéb adatot véges sokkal helyettesítjük. A diszkretizálás klasszikus és legelterjedtebb módja a véges differenciák módszere. Itt az adatokat egy szabályos hálózat pontjaiban adjuk meg, és a közelítő megoldást is e rácspontokban igyekszünk meghatározni oly módon, hogy a differenciálegyenletekben szereplő deriváltakat bizonyos differenciahányadosokkal (véges differenciasémák) approximáljuk. Abból, hogy a modellezni kívánt tartományt egy diszkrét pontokból álló hálóval fedjük le, nyilvánvalóan látható, hogy a kiindulási információ egy részét törvényszerűen elveszítjük: az egyes rácspontok közötti adatokat nem ismerjük, csak ésszerű feltevések alapján interpolálhatjuk a rácsponti adatokra támaszkodva. Az információvesztés mértéke szorosan összefügg a hálózat finomságával (más szóval a diszkretizáció felbontóképességével). A nagyobb felbontóképesség elvi lehetőséget ad az információvesztés csökkentcscre, ám a modellezés számítógépes költségeit (memóriaigény, futási idő stb.) erőteljesen növeli. Természetes igény tehát, hogy a diszkretizálás - bármilyen konkrét technikát választunk is — felbontóképessége a megoldási tartományban változtatlmtó, szabályozható legyen. Ott, ahol a geometriai adatok (pl. fenékszint, partvonal) és/vagy az adott probléma megoldása várhatóan gyorsan változik a térben, nagyobb felbontóképesség szükséges. Másutt esetleg sokkal kisebb felbontóképesség is elegendő. Megtehető, természetesen, hogy a tartomány leginkább „változékony" részeit figyelembe véve, meghatározzunk egy hálósűrűséget, és ezekután ilyen sűrűségű hálót fektetünk az egész tartományra. Nyilvánvaló azonban, hogy ez a megközelítés roppant gazdaságtalan lehet - bár elvileg kétségkívül egyszerű -, mert igen sok felesleges ismeretlent (rácspontot) vezethet be. Sokkal jobb megközelítés ennél a már szintén tradicionálisnak számító véges elem módszer (Connor és Brebbia [1976]). Anélkül, hogy e módszer részleteibe belemennénk, megjegyezzük, hogy itt a hagyományos differenciamódszereknél általában bonyolultabb diszkrét problémát kapunk: továbbá az egész módszer lelke és alapja egy flexibilis, mindazonáltal kellően gyors hálógenerálási eljárás, mely sokszor nem kevésbé nehéz, mint az eredeti hidraulikai probléma megoldása. A nu-