Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)

3. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pawel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. I. Egyenlőtlen hálók: generálásuk, első alkalmazások

164 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1994. 74. ÉVF. 2. SZÁM merikus hálógenerálásnak ma már önálló és szerteágazó irodalma van (Sengupta et al [1988]): a hálógenerálás után külön probléma még az adott feladat diszkretizálása és megoldása. Altalánosságban szólva, a véges elem módszerek struktúrájában is valamivel bonyolultabb diszkrét rendszert eredményeznek mint a differenciamódszerek, abban az értelemben, hogy a rácsponti ismereüenek egymáshoz való kapcsolódása összetettebb, és a hálóstruktúrától függ. Cserébe e módszerek valóban flexibilis lokális sűrítéseket tesznek lehetó'vé, a diszkretizálás a geometriához jól illeszkedhet, és a közelítés pontossága is általában jobb, mint az egyszerű differenciamódszerek esetében. Jó kompromisszum a véges differencia és az általános végeselem módszer között a görbevonalú hálók alkalmazása (Thompson [1982J). Itt, durván szólva, a számítási tartományt nem derékszögű egyenesvonalú, hanem görbevonalú négyszögekkel fedjük le. Az így nyert görbevonalú háló struktúrája egyszerű (nem bonyolultabb a hagyományos derékszögű hálóénál), mindazonáltal kellően rugalmas helyi sűrítési lehetőségeket nyújt. Megmarad természetesen a hálógenerálás és a diszkretizálás problémája. A diszkretizálás technikájának kiindulópontja általában az, hogy a görbevonalú hálót alkalmas transzformációval derékszögűbe transzformáljuk: e transzformáció az eredeti feladatot egy másikba - éspedig általában bonyolultabba - viszi át, melyet most már elég egy egyszerű ekvidisztáns, derékszögű hálón diszkretizálni. Ily módon a differenciasémákban megjelennek bizonyos, a görbevonalú hálót jellemző paraméterek (az ún. metrikus paraméterek), melyek a sémákat bonyolultabbá teszik: ez, és a hálógenerálás mint extra feladat, jelentik a háló flexibilitásának árát. Magának a hálógenerálásnak sok módja ismeretes: egyik elterjedt módszer az, hogy a koordinátafüggvényeket (tehát a görbevonalú transzformációt leíró függvényeket) magukat is egy alkalmas, mégpedig elliptikus differenciálegyenlet megoldásaként keressük, melynek jobb oldala bizonyos korlátok között szabadon megválasztható függvény: ennek konkrét megoldásával lehet szabályozni a háló szerkezetét. Hangsúlyozzuk, hogy ily módon a hálógenerálás maga is olyan részfeladat, melynek bonyolultsága közel azonos is lehet az eredeti (hidraulikai vagy transzport) probléma bonyolultságával. Megjegyezzük még, hogy a görbevonalú rendszerek használata külön nehézségekre vezet többszörösen összefüggő tartományok esetében (amikor is a tartományban „lyukak" vagy „szigetek" is lehetnek): ez ui. lényegesen megnehezíti a kívánt transzformáció meghatározását. Látjuk tehát, hogy a megfelelő numerikus módszer kiválasztása a következő, általában csak egymás rovására teljesíthető követelmények mérlegelését igényli: (a) a módszer jól illeszkedjék bonyolultabb geometriákra is (pl. zegzugos partvonalakra; tegye lehetővé kisebb-nagyobb szigetek kezelését is stb.); (b) a diszkretizálás felbontásának finomsága legyen helyről helyre változtatható, ily módon a módszer tegye lehetővé térben erősen változékony adatok, illetve megoldás kezelését (pl. éles koncentrációfrontok a szennyezőanyag-teijedésben); (c) a diszkretizálás legyen egyszerű és olcsón (azaz viszonylag kis számításigénnyel) elvégezhető; (d) a diszkretizálás vezessen minél egyszerűbb sémákra; (e) végül, természetesen, a diszkretizált problémára létezzék minél gyorsabb megoldási algoritmus. A hagyományos ekvidisztáns véges differencia módszer a (c), (d) követelményeknek eleget tesz, de (a), (b)-nek nem. Ami (e)-t illeti, itt utalunk az ún. többhálós (multigrid) módszerekre, melyek igen figyelemreméltó mértékben (akár egy-két nagyságrenddel is!) képesek felgyorsítani bizonyos egyszerű, jól ismert iterációs módszereket. E módszerekkel részletesebben cikksorozatunk következő részében foglalkozunk. A végeselemes módszerek esetében a helyzet fordított. Itt az (a), (b) követelmények maximálisan kielégíthetők, de ennek ára, hogy a (c), (d) követelmények — általában az (e) is - már nem teljesíthető. E kettő között állnak a görbevonalú koordinátarendszerekben alkalmazott differencasémák. Jelen dolgozatunkkal kezdődő cikksorozatunkban egy olyan, bizonyos szempontokból teljesen új megközelítési módot mutatunk be, amely a lehető legnagyobb mértékben kielégíti a fenti összes követelményt, ilyen értelemben tehát optimális. A módszer további érdekes optimalitási tulajdonságokkal is rendelkezik: így pl. a bevezetett ismeretlenek száma, bizonyos értelemben, a „lehető legkisebb", és ugyanez vonatkozik a megoldás műveletigényére is. A módszer lényege nagy vonalakban a következő. Definiálunk egy olyan, nem egyenletes, nem ekvidisztáns, de derékszögű hálót, mely egyrészt jól illeszkedik a feladat geometriájához, másrészt a felbontás finomsága is kellően kézben tartható, illetve szabályozható. A háló előállítására a külföldi szakirodalomban struktúra nélküli hálógenerálás" vagy „quadtree algoritmusnak" nevezett, számításigényt tekintve rendkívül gazdaságos eljárást használjuk. Ezáltal egyszerre eleget teszünk az (a)-(c) követelményeknek. Ezekután differenciasémákat definiálunk az így kapott hálón: ez most messze nem triviális feladat, tekintve, hogy a háló nem ekvidisztáns (és nem is egyenletes). Ennek ellenére mégis lehetséges egyszerű sémákat felállítani: a sémák sokkal egyszerűbbek, mint ha akár végeselem módszert, akár görbevonalú koordinátákat alkalmaztunk volna. így a (d) követelmény is kielégül. Végül, az így felépített diszkretizációra bizonyos, természetes úton adódó multigrid (többhálós) módszert fogunk alkalmazni, ami a gyors megoldhatóságot is biztosítja, így tehát az (e) követelmény is teljesíthető. Megjegyzés: A „struktúra nélküli háló" kifejezés kissé félrevezető, mert mint látni fogjuk, ezek a hálók természetes módon elláthatók egy bizonyos gráf-struktúrával. A „quadtree" (tkp. „négyzetfa") elnevezésre kialakult magyar szakszó egyelőre nincs, az elnevezés egyszerre utal az említett gráf-struktúrára és a négyfelé bontásra. Cikksorozatunk első, jelen dolgozatában az imént említett hálógenerálási eljárást mutatjuk be, annak azonnal adódó, első alkalmazásaival együtt. A követ-