Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)

2. szám - V. Nagy Imre: Az információelmélet hidrológiai értelmezésének és alkalmazásának lehetőségei. II. rész

•V. NAGY I.: Az információelmélet hidrológiai értelmezése 75 gyűjtőből akkor ha a belépő csapadékjel x H{Y\X)~ = £/>(X-*í)2 [P(Y-yj\X=x

Lf ' J _. \ogP(Y = y

j\X = x

l)] (6.4) tehát a vízhozamok halmazának feltételes entrópiáját kapjuk abban az esetben, ha a belépő csapadékjeleket ismeijük, ami viszont az Y vízhozamokra vonatkozó megfigyeléseink kimenetelét illető átlagos bizonytalanságunkat fejezi ki akkor, ha X felvett értékét ismerjük. Determinisztikua lefolyási rendszer esetén (zajmentes állapot) P(yi /xí) =1, tehát biztos az, hogy amikor a vízgyűjtőbe x± csapadék hullik, akkor a kiléápési szelvényben y, vízhozam mérhető (Reza F., 1961) és H(Y/X)=H(X/Y) =0 (6.5) Amikor viszont a vízgyűjtő teljesen visszatartja a csapadékot (tehát nincs felszíni lefolyásképző csapadékhányad), akkor nincs lefolyás, nincs információátvitel, tehát Xi semmilyen információt nem nyújt y

y-re vonatkozólag és fordítva, azaz: u. Piy/xd = piy,); Pte/yj) = p(*d tehát H(Y/X)=H(Y):H(X/Y) = H(X) (6.6) A következő kérdés az, hogy milyen módon lehet meghatározni a vízgyűjtőn átjutó, V(X, Y) információ (információnyereség) mértékét. Ismeretes (Reimann-V. Nagy, 1984), hogy az (X,Y) valószínűségi változópár eloszlására vonatkozó bizonytalanságunk kétváltozós diszkrét eloszlás esetén: H(X,Y) = = X"

Y = y'

] 2logP(X = X»

Y = y'

} = « j — J^r^logr.y (6-7) < i Belátható, hogy H (X, Y) = H (X/Y) + H (Y) (6.8) mivel, = log rfq

r i J q> —2 2

P(

X i/

Y=j )

2'°s

P(

X=

i/

Y - j) = -2 P ( * - i/Y-j ) 2 % 2log q,-H{X/Y)+H(Y) (6.9) • i ahol P(X = x

i)=p

i; (i = 1,2,...,«) P(y = >>,.) = <7,; 0 • 1,2,..., m) = y = y

;) = r,y Amikor tehát X és Y függetlenek egymástól; • / = - 2 íjP, :logP.-^P.^q, 2log q

rH(X) + H(Y) (6.10) A V(X,Y)-H'(X,Y)-H(X,Y) (6.11) mennyiség adja meg tehát a reális vízgyűjtőn átjutó információ mennyiségét. Belátható a (6.8) és (6.10) kapcsolatok figyelembevételével, hogy V (Jf,y) =H(X) - H (X/Y) =H (Y) - H (Y/X). Az eddigiek alapján könnyen belátható, hogy H(X/Y)zH(X); H(Y/X)<J1(Y) ezért, V(Z,Y)*0. Ideális, determinisztikus esetben a csapadék teljes mértékben áthalad a vízgyűjtőn, tehát H(X/y)=0. Amikor viszont nincs lefolyás (nem jut át információ) akkor, V(X,Y)=0. Megállapítható tehát, hogy a H(J/X) és H(X/Y) függvények az információátvitel tökéletlenségének, az információveszteségnek, a vízgyűjtő cspadéktranszformáló hatásának mérőszámai. Ezen belül a H(Y/X) függvény utal közvetlenül a vízgyűjtő cspadékátalakító hatásra, míg a H(A7Y) függvény a többértelműség mértékét jelenti vagyis azt, hogy milyen pontosan tudjuk meghatározni a lefolyás információtartalmát a kimenet (vízhozam) ismeretében. Bevezetve az fflJM) _

H(X/Y) ( ' H(X) H(X) H(X) (6.13) mennyiséget, megkapjuk a relatív információnyereség egyik jól használható mérőszámát, ami kifejezi azt, hogy az egyik változó értékének ismeretében mennyit csökkent a másik változóra vonatkozó bizonytalanságunk az eredeti bizonytalansághoz képest. Az r(X,Y) mennyiség diszkrét eloszlású valószínűségi változók esetében a sztochassztikus kapcsolat jó mérőszáma, (Reimann - V. Nagy, 1984. ),mivel: 1., 0 =5 r(X/Y) s 1, 2., r(X/Y) = 0, ha X és Y függetlenek, 3., r(X/Y) = 1, ha az X változó Y-nak egyértelmű függvénye. Abban az esetben, ha az X és Y változók közül egyik sem kitüntetett (időben) a másik változóvá' szemben, akkor képezhető az előbbivel teljesen analóg tulajdonságú H(X) - H(X /Y) + H(Y) - H(Y/X

) _ H(X)+H(Y) H(X/Y) + H(Y/X) (6.14) R(XY) 1 Rtf.YJZ)- 1-H(X)+H(Y) mérőszám, ill. további Z változó bekapcsolásával H (X/Y,Z) + H (Y/XJ) + H (Z/X,Y) H(X)+H(Y)+H(Z) (6.15) szimmetrikus mérőszám is, ill. könnyen belátható, hogy tetszőleges véges számú valószínűségi változó bekapcsolására van lehetőség. Mivel a csapadék-lefolyás kapcsolat valóban számos fizikai tényezőtől függ (párolgás, beszivárgás, depressziós tározódás stb.), így nincs elvi akadálya a vízgyűjtőn lejátszódó folyamatok (kapcsolatok) információelméleti alapon való jellemzésének. Végezetül megjegyezzük, hogy a vízgyűjtő átalakító hatásának jó jellemzője lehet a píyjxi) feltételes valószínűségének P(Y/X) mátrixa, amely megmutatja, hogy mekkora valószínűséggel számíthatunk az yj vízhozam előfordulására akkor, ha a vízgyűjtőbe JC; csapadék lép