Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)

2. szám - V. Nagy Imre: Az információelmélet hidrológiai értelmezésének és alkalmazásának lehetőségei. II. rész

74 HIDROLÓGIA

I KÖZLÖNY 1993. 73. ÉVF., 1. SZÁM Legyen a a rendelkezésre álló adatszám n = 36, az x tapasztalati szórása 100 cm, ill. x szórása 16 cm. Ekkor a jellemző p érték, p(0,008 < P < 0,014) - 0,90 intervallumban található. Legyen a bennünket érdeklő árvízi vízállás valószínűsége p(:t<300 cm). Az illeszkedés-vizsgálat alapján (5 = 0,01 értéket felvéve, a keresett valószínűség: p(x<300)=W

a

a" =0,9521. Az alsó valószínűségi becslést f} = 0,008 esetére számítva pi = 0,9093, míg a felső valószínűségi becslés fi=0,014 eredménye ^2=0,9851. Ekkor tehát p-pi=0,0S és p2 - p = 0,03 tehát az x<300 cm vízállási esemény valószínűségét n=36 adatszám esetén (n>1000 helyett) 5 %-nál nagyobb pontossággal tudjuk megközelíteni az exponenciális eloszlás előzetes ismeretében ahhoz az esethez képest, amikor nem tudjuk előre, hogy a vizsgált esemény valószínűségét milyen eloszlás alapján keressük. Információelméleti szempontból további figyelemre méltó következmény az, hogy az adott példa esetén: 1.) az eloszlástípus ismerete miatt 40 %-kal rövidült az az intervallum (Lebesque-ménék), melyen belül a számegyenesen a keresett valószínűség elhelyezkedik; 2.) a rövidülési arány tehát 60 %-kal csökkenti a bizonytalanságot (ennyivel növeli az információt); 3.) figyelembe véve, hogy a felveu 90 %-os konfidencia intervallum mértéke nem csak az intervallum hosszától, hanem a + 1 intervallumon belüli helyzetétől is függ, akkor a példa esetében azt kaptuk, hogy p(x<300 cm) valószínűség pontosságára vonatkozó információ nyereség 91 %. A fenti illusztratív példa mutatja, hogy az I

k kezdeti információ ismeretében az észlelések előzetes megtervezésével lényegesen növelhetjük az I

n információ értékét és következésképpen növekszik az If feldolgozási és I

e előrejelzési, tervezési információk értéke is. Végül rámutatunk arra, hogy a hidrológiai információ sajátossága az, hogy a felhasználás révén tovább növekszik (nem fogy el), sőt az információkészlethez való újabb hozzáadás révén az egész információkészlet minősége (értéke) javul. Lényeges az időfüggőség olyan értelemben, hogy az I

m inforiháció értéke csökken akkor, (elavul) ha a méréseket, megfigyeléseket abbahagyjuk (/

m -» 0). A másik elméleti határeset a végtelen (folytaono)s ideig tartó észlelés, amikor I

n 1, tehét egyre többet tudunk meg az észlelt folyamatról. 6. A vízgyűjtő terület mint információs rendszer Az alábbiakban kísérletet teszünk a vízgyűjtőn lejátszódó csapadék-lefolyás folyamatok információelméleti jellemzésére a hírközlési rendszer analóg jellemzó'it véve alapul (Fülöp G. 1990). Esetünkben a zártnak feltételezett rendszer bemeneti információját a csapadék képezi, amely valamilyen térbeli és időbeli eloszlás szerint éri a vízgyűjtőt. A vízgyűjtő mint lefolyási rendszer egyes térbeli pontjaiban belépő információ a lefolyási folyamatban átalakul, transzformálódik és a végső, kifolyási szelvényben (csak a felszíni lefolyást tekintve) meghatározott eloszlást mutató időbeli késleltetéssel vízhozam és árhullámképben, új információként jelenik meg. A lefolyás legegyszerűbb matematikai modelljeiben (pl. Dooge, 1959) a belépő x, (pl. csapadék, vagy a felső szelvény vízhozama) adott válasz (y

i

t vízhozam) csak egy konstans szorzóval, időeltolással különbözik a bemeneti jeltől. Az ilyen - csak elméletileg létező - ideális eset a hírközlésben az ún. „zajmentes" csatornának felel meg. Vágás I. (1965) kimutatta, hogy ennek az esetnek a megfelelője a hidromechanikában a permanens vízmozgás, amikor az előrejelzést semmiféle előzetes határozatlanság sem terheli, a levonulás bizonyossága egységnyi valószínűségű, tehát határozatlansági foka (entrópiaváltozása) zérus. Nem permanens vízmozgás esetén viszont már meghatározható mértékű határozatlanság keletkezik, ami a zérusnál nagyobb entrópiaváltozással jellemezhető. Igazolást nyert továbbá, hogy: - az árhullámlevonulás során az entrópia a mederben tározott víztérfogattal arányosan növekszik; - prizmatikus medrekben az entrópia az árhullám által befutott úthosszal arányosan növekszik. - Vízgyűjtők esetében a bemeneti és kimeneti jel (csapadék) valószínűségi változó. Amennyiben a csapadék jelkészlete a jelek xi, xz, ..., xn x halmaza és az xí jel előfordulási valószínűsége P,, akkor a jelsorozat jelenkénti átlagos információja a csapadék mint „forrás" H(X) entrópiájával adható meg. - A vízgyűjtőből kilépő yi, yi, ..., ys) jelek, tehát, elemi vízhozamok (jelsorozatok) entrópiája H(Y) és a vízgyűjtő (V) átjutó információ V(X, Y). Feltehető a kérdés, mia valószínűsége annak, hogy ha a csapadék X halmazának valamely eleme lép be a vízgyűjtőbe, mekkora lesz a valószínűsége annak, hogy a kifolyási szelvényben az Y halmaz (vízhozam) y, eleme jelenjen meg. Amennyiben a vízgyűjtő, vagy vizsgált mederszakasz „zajmentes" azaz determinisztikus rendszer, akkor a belépő jel hatására mindig ugyanazon y,- jelenik meg. Ekkor az átvitt belépő és kilépő információk egyenlők egymással, V(X, Y) = H(X) = H(Y) (6.1) A vízgyűjtő azonban a belépő csapadékjeleket transzformálja, az átvitt információ (lefolyás) a különböző veszteségek (párolgás, depressziós tározódás, beszivárgás) miatt kevesebb lesz mint a belépő információ, tehát a kilépő jelsorozatban nem a belépő x

r'< nek megfelelő értéket találjuk. Ekkor az X csapadék mint valószínűségi változó feltételes entrópiája azon feltétel mellett, hogy a ki-: folyási szelvényben az x^ jel hatására Y = yj jel (víz1 hozam) lép ki a vízgyűjtőből, H(X/Y = y,) = - ^P(X = x/Y = yj). 2log PUC-'xi/Y-yd. (6.2) Ennek a feltételes entrópiának várható értéke az X változónak y-ra vonatkozó feltételes entrópiája, amely x-re vonatkozó megfigyelés kimenetelét illető átlagos bizonytalanságunkat fejezi ki, ha Y felvett értékét ismeijük: -2 [P(X = X

l/Y = y

j )

2log P(X = Xi /Y = jj) ] (6.3) i Ez a kifejezés tehát az X csapadékhalmaz feltételes entrópiáját jellemzi az Y vízhozamhalmaz ismerete esetén. Analóg módon, felvéve annak feltételes valószínűségét, hogy a kifolyási szelvényben y

s lép ki a víz-