Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)

2. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor: Kvázi analitikus számítási eljárás az egydimenziós vízmozgás és szennyezőanyag-terjedés modellezésében. II. rész

68 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1993. 73. ÉVF., 1. SZÁM vagy rövidebben: Cx Cx u(t^c) = a(í) • ew • w{x) + e 2d • ^p

k(t) • w

k • sin^^ L k-1 ahol es PÁt) • = e"* ' f -A(T)dT ^ n i c A: • x (b) w trigonometrikus: ekkor 1 2 k A(t) = -a'(t)-^-a(t) W

k: A(í) = -a'(f)'C

2 Dx

2) , , (c) tv hiperbolikus: ekkor 2 1 k • Jt o 1 + , A(í) = - a'(r) + 4D D& 2 2 K Jt .<x(r) Bármelyik speciális esetet választjuk is, a megfelelő w

k értéket ill. A(t) függvényt (21)-(22)-be helyettesítve explicit kifejezést nyerünk a (7) probléma megoldására. Megjegyezzük, hogy a (c) speciális esetben [w(x) hiperbolikus] (21) jobb oldali első tagjában szereplő Cl e w • w(x) faktor nem más, mint a (7) probléma permanens megoldása az u(0) = 1 u(L) = 0 kezdeti feltétel mellett. A p^'- függvények felírásában szereplő idő szerinti integrálok kiszámíthatósága a (7) probléma a(t) peremfeltételének konkrét alakjától függ. Ha a peremfeltétel „szép", azaz a(r) valamilyen jól kezelhető formulával definiált, akkor a szóban forgó integrálok olykor analitikusan is kiszámíthatók, így (21) kiértékelése elvi nehézséget nem okoz. A helyzet azonban általában nem ez, hanem a(f) valantüyen idősorral adott. Legtöbbször a(t) egy szakaszonként lineáris függvény, ill. ilyennel közelíthető. Tegyük fel tehát, hogy ismertek a(r) értékei a 0=t

0<t

1<...<t

N=t időpontokban, és ezek az a

0, a

1

( ..., a

N számok. Ezen időpontok között lineáris változást tételezünk fel, azaz a(t) = dj -1 + bj (24) alakú a [t

h

l, f,] intervallumon, ahol a. - a..! a: = — -—, és b

; = a.- - a.- • t: 1 t —t- , 1 ' 11 v v-1 (21) (22) (23) Feladatunk a (22)-veI definiált függvényeket kiszámítani valamilyen, fentebb tárgyalt w választás mellett. Vegyük észre, hogy a (c) speciális esetben, ha a konstans értékét CL CT : = 2D amely egyaránt érvényes mindhárom speciális esetre, és már csak a w(x) függvény konkrét alakjától függ (mely meghatározza egyúttal az A(t) és a P

k'° függvények alakját is). Az általunk vizsgált (a)-(c) speciális esetekben a w

k számok és az A(t) függvény egyszerű számolással adódnak: felhasználva a (19) és (20) összefüggéseket, a következő eredményeket kapjuk az egyes speciális esetekben: (a) w lineáris: ekkor nek választjuk, akor az A(t) függvény rendkívül egyszerű alakot ölt: A(t) = -a'(t)* a (tj^tj) intervallumon (j=í,...,N) Ezt kihasználva, a (22)-beli integrál egy véges összeggé bomlik, mégpedig, rövid számolás után kapjuk, hogy: N ' —f (25) Ck „o. Pk j- 0 ahol definíciószerűen legyen a

0:=a

N+

1:=0 Sikerült tehát a (7) probléma megoldását explicit módon — bár végtelen sor szerepeltetésével — előállítani. A következőkben a (21) formula tulajdonságaival foglalkozunk. 4. A kvázi-analitikus módszer numerikus jellemzése. Összehasonlítás a végesdifferencia-módszerekkel A (7) problémának a (21) formula által adott megoldása, mint már említettük, elvileg egzakt: a gyakorlatban mindenképpen csak közelítő eljárás, mert numerikusan kiértékelendő végtelen összeget tartalmaz, melyeket értelemszerűen véges összegekkel kell helyettesíteni. Összehasonlítási alapként, tekintsük a (7) probléma egy szokásos numerikus megoldását, mely a véges differenciák módszerére épül. E módszer fő lépései nagy vonalakban a következők [részletesebben ld. pl. Cunge et al (1980): Peyret és Taylor (1983)]: 1. A [0, L] intervallumot a Q=X

0<XI<...<X

M=L rácspontokkal M részre bontjuk: általában a felbontás ekvidisztáns, azaz x

k= k • t], ahol h:=L/M, a lépésköz. 2. A vizsgált [0, í] időintervallumot is részekre bontjuk a 0=í

0<í

1<...<r

A-=í időpontokkal. Szokásos itt is a fix időlépés használata, amikor is t

k=k-Aí, ahol At:=t/N. 3. A differenciálegyenletet diszkretizáljuk: az u(t, x) megoldás közelítése érdekében bevezetjük az (k-0,1, ...,M- j-0,1, ...,N) diszkrét megoldást (mely az u(t

p x

k) számokat van hivatva közelíteni), és ezekre diszkrét egyenleteket (differenciasémákat) írunk fel. Itt a (7)-ben fellépő deriváltakat differenciahányadosokkal közelítjük. Ily módon minden egyes r

; időlépésben az " o , U ! , u M értékek vagy explicit módon számíthatók az előző időlépésbeli értékekből (explicit sémák), vagy azok fel-