Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)

2. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor: Kvázi analitikus számítási eljárás az egydimenziós vízmozgás és szennyezőanyag-terjedés modellezésében. II. rész

GÁSPÁR CS. - SZÉL S.: Kvázi-analitikus számítási eljárás 67 u(t,0) = a(t) (peremfeltétel) u(t,L) = 0 ahol a megoldás folyamatosságának biztosítása érdekében feltesszük, hogy a(0) = 0. Mindenekelőtt a térbeli első deriváltat tartalmazó tagot (a konvektív tagot) elimináljuk a következő transzformációval. Keressük (7) megoldását ílA £* u(t, x) = e 4D • e 2D • U (tje) (8) alakban rövid számolás után az adódik, hogy í7-nak ki kell elégítenie a következő, egyszerűbb problémát: d

2U 0 (a) w lineáris: (b) w trigonometrikus: (c) w hiperbolikus: w(x): = l-f nx w(x): = cos— w(x): 2L sho • (1 - x/L) sho ahol a*0 tetszőleges konstans. Később látni fogjuk, hogy a legegyszerűbb formulák a (c) eset alkalmazásával származtathatók. Ha v-t már megválasztottuk, (9) megoldását keressük U : = v + V (11) alakban: ekkor V szükségképp megoldása a most már azonosan zérus peremfeltételű dV „ d

2V ,dv n d

2v ) = : g{

t

yx) (12) dx

2 öt d

x< V(0,x) = 0; V(t, 0) = 0; V(t,L) = 0 problémának, ahol a jobboldali g függvény v konkrét alakjának ismeretében könnyen számítható. A (12) probléma most már olyan alakú, hogy arra a FoMner-sorfejtés módszere minden további nélkül alkalmazható. Eszerint (12) megoldása előállítható a hvc V(t,x)=2 V

k(t) • sin(13) szinuszos Fourier-sor alakban, ahol a V

k (t) együtthatófüggvények egyelőre ismeretlenek. A (12) egyenlet jobb oldalán álló g (t, x) függvényt fejtsük szintén x szerinti szinuszos Fourier-sorba: x) = 2 g

k{t) • sin (14) ahol 3t dx" U(0,x) = 0 (kezdeti feltétel) c

2 • t U{t,0) = e4D • a(t) U(t, L) = 0 (peremfeltétel) Következő lépésként, a (9) problémát visszavezetjük olyanra, melynek peremfeltétele azonosan zérus. Legyen v(t, x) tetszőleges, elég sima (kétszer folyamatosan differenciálható) olyan függvény, ami (9) kezdetiés peremfeltételeit kielégíti (magát a differenciálegyenletet nem szükségképpen). Ilyen függvényt könnyű találni: legyen pl. v a következő formulával meghatározott: c

2i v(t,x): = e 4D • a(t) • w(x) ahol M

x) tetszőleges olyan sima függvény, melyre h<0) = 1 ML) = 0 teljesül, egyébként w menete a (0, L) intervallum belsejében tetszőleges lehet, w konkrét megválasztására sok lehetőség kínálkozik. így pl.: gM = -f^OrX) • sin~ck (15) A (13), (14) formulákat (12)-be helyettesítve, az ismeretlen V^t) együtthatófüggvényekre az alábbi közönséges differenciálegyenlet-rendszert nyerjük: dV

k k

2n

2 v + D- —^ -V

k = g

k d t VtfO) = 0 melynek egzakt megoldása: i -Xíí (£=1,2,...), V

k(t) e^-g

k(x)dx (16) (17) ahol a Dk

2 tc

2 jelöléssel éltünk. Megkaptuk tehát a (12) probléma megoldását: visszafelé alkalmazva a (10) és (8) transzformációkat, megkapjuk az eredeti, (7) probléma megoldását is: -C

l Cx u(tjc) = e > o • e (v(t

rx) + J e* • [ f e^

g

k(x)dx ] • sJfright) (18) km 1 0 A (18) formula még tartalmazza a v(t,x) segédfüggvényt, amelynek konkrét alakja a (10)-beli w függvény megválasztásától függ. Az említett (a)-(c) speciális esetek mindegyikében teljesül, hogy w második deriváltja magával vv-vel arányos: d

2w dx

: (x) = konstans • w(x), alkalmas konstans mellett. Ez a körülmény a g(t, x) függvények kiszámítását jelentősen leegyszerűsíti: könnyen látható, hogy g(t, x) mindhárom speciális esetben a következő alakú lesz: 2 g(ts)-e&-A(t)-w(x), (19) ahol az A(t) függvény mindhárom esetben már csak az a(t) peremfeltételetől függ. Jelölje w

k a szóbanforgó w függvény k-adik (szinuszos) Fo«Wer-együtthatóját: .: = • í M*)" sin^T^ dx, L Jo L (20) akkor, felhasználva a g függvény (19) formáját, a (18) egyenlőségből könnyen adódik, hogy a (7) probléma megoldása felírható a következő alakban: Cx kml u(tj) = ci(t) • eu> • w(x) + c

2 f e^ + 75* A(x)dx w

k • sinhvc