Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)
2. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor: Kvázi analitikus számítási eljárás az egydimenziós vízmozgás és szennyezőanyag-terjedés modellezésében. II. rész
66 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1993. 73. ÉVF ., 1 . SZÁM a L • u(tJL) + b L-~ W) = YiW ahol az a 0, b 0 ill. az a^ b L számok közül az egyik 1 a másik 0: ily módon (2) az alábbi speciális eseteket egyesíti: - a (0, L) intervallum mindkét végpontján Dirich/eí-peremfeltétel van előírva (azaz u értéke adott minden t időpontban): - a (0, L) intervallum mindkét végpontján Neumawi-peremfeltétel van előírva (azaz du/dx értéke adott minden t időpontban); - egyik végponton Dirichlet-, a másikon Neumannféle peremfeltétel van előírva (kevert peremfeltétel). Maga az (1) differenciálegyenlet a 0<r<Z,, r>0 intervallumokon van kitűzve. A C, D együtthatóktól feltesszük, hogy sem a tér- sem az időváltozótól nem függő konstansok. A probléma megoldását voltaképpen a (2)-beli peremfeltételek teszik nehézzé. Ha ettől eltekintünk, a pusztán kezdeti feltétellel ellátott (1) egyenlet numerikus kezelése sokkal egyszerűbb lehet. Valóban tekintsük a — + C • — —D dz dx A ( 3> u( 0, x) = i|>« kezdeti érték feladatot. Ennek egy megoldását könnyen előállíthatjuk komplex Fourier-sorok (Vlagyimirov 1979) segítségével. Eszerint (3) megoldása felírható vény zérustól különböző, akkor bizonyos ideig a (4) megoldás is közelítően ilyen tulajdonságú, azaz közelítően egyezik (3)-nak azzal a megoldásával, mely az u(t,0) = u(t, L) m 0 (6) peremfeltételeket kielégíti. Mihelyt azonban a kezdeti feltétel hatása kezdi elérni a peremeket (szemléletesen: az áramlás „leviszi" az alsó peremre ill. „visszadiffundál" a felső peremre), a (6) peremfeltétel többé már nem tekinthető kielégítettnek, és a (4) formula ily módon már nem alkalmazható a (3)—(6) probléma megoldására. Alkalmas viszont arra, hogy az (l)-(2) problémát visszavezessük arra a speciális esetre, amikor a kezdeti feltétel azonosan zérus. Valóban, (l)-(2) megoldását keressük. u(t^c) = u 0(ts) + U(t^c) alakban, ahol u 0 kielégíti a (3) differenciálegyenletet és a kezdeti feltételt, így a (4) formulával számítható. Akkor nyilvánvaló, hogy a még ismeretlen U függvénynek szinten ki kell elégítenie az (1) konvekciósdiffúziós egyenletet a következő kezdeti- és peremfeltételek mellett: • YO (/) - ao • uo(t,0) - bo • ^r(t,0) dx U(0s) •• - o ao- U(t,0)+bo ^-(t,0). ÖX a L • U (t, L) + b L • ^r, L) - YiW - a L • u 0(t, L)-b L • ^(f, L) dx dx A továbbiakban tehát eleve feltehető, hogy a kezdeti feltétel zérus. •AJ * • 0 L u(t, x) = Yiju • e ^ • é két» Fourier-sor alakban, ahol 2 nk A t = D. 4jt 2k 2 + i C(4) (5) 1 Á" \pt = — \t>(jc) • e t. dx L Jo A (4) összeg minden tagja, mint az könnyen ellenőrizhető, kielégíti a (3) differenciálegyenletet: 1=0 esetben pedig a (4) összeg épp a tj, kezdeti feltétel Fourier-sorát adja. Az eljárás számításigénye csekély: lényegében a fellépő Fourier-sorfejtés, ill. összegzés végrehajtásán múlik, melyek jól elvégezhetők a gyors Fourier-tranformációs algoritmussal ld. Bahvalov (1977); Henrici (1985). Hangsúlyozzuk, hogy a (4) formula alkalmazásával azonnal a t időpillanatban vett megoldáshoz jutunk, szemben a véges differencia módszerekkel, ahol a megoldáshoz időlépések sorozatán keresztül érhetünk csak el. Mi több, az eljárás konvekciódomináns (sőt, tiszta konvekciós) esetben is jól működik, továbbá stabil és mentes a numerikus diszperziótól. Súlyos hátrány viszont, hogy peremfeltételek nem tehetők, a megoldást kizárólag a függvény viselkedése szabja meg. Ha a (0, L) intervallum olyan nagy, hogy a vizsgálni kívánt t időtartam alatt a kezdeti feltétel hatása a peremeket még „nem éri el", azaz az intervallum akkorára lett választva, hogy a végpontok elég messze esnek azon tartománytól, ahol a fiigg3. Szimmetrikussá transzformálás és kvázi-analitikus megoldás Az (l)-(2) probléma numerikus megoldásának szokásos módja, hogy a (0, L) intervallumot elég sűrűn felosztva, véges differencia sémákat alkalmazunk mind az idő-, mind pedig a térváltozó szerint. Ez akkor is járható út, ha a C, D együtthatók nem konstansok. Kihasználva azonban ezek konstans voltát, olyan ismét csak Fowner-sorfejtésen alapuló megoldási módszr adható, mely bizonyos, jól körülhatárolható esetekben numerikus szempontból sokkal gazdaságosabb a véges differencia eljárásoknál. A módszer jobb híján - kvázi-analitikusnak nevezhető, mert elvileg ugyan a pontos megoldást szolgáltatja, de végtelen sorokat tartalmaz, melyek numerikus kiértékelése természetesen csak korlátozott pontosságú lehet. A következőkben leítjuk az eljárás lényegét. A módszert először a (2)-ben tett peremfeltételnél sokkal egyszerűbb u(t, 0) = a(t) u(t, L)= 0 peremfeltétel esetére írjuk le: később megmutatjuk, hogy az eljárás könnyen kiteijeszthető az általánosabb peremfeltételekre is. Vizsgáljuk tehát a következő Dirichlet-problémát: ÉH + c.ÜL_ d.^L = 0 (7) dt dx dx 2 v ' w(CU) = 0 (kezdeti feltétel)
