Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)
6. szám - Kontur István: A véletlen bolyongás és diffúzió
380 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1993. 73. ÉVF., 1. SZÁM vízhozamot - tartományokra, szeletekre bontja és ezen tér, idő, változó (vízhozam) „kockán" belül; „téren" belül alkalmaz lineáris, térben, időben homogén modellt. Tehát ezen mondhatni sub modellekben igenis hasznosak lehetnek az egyszerű modellek. Nézzünk néhány egyszerű diszkretizált modellt, aminek mintájára még számos fölírható! (ii) Térben diszkrét, időben folytonos rendszer: alkalmazzuk az alábbi centrális differencia sémákat: I^U.-^KW.WMrt) t^W 1 2(e, +i(<)-2e,{')+e;-i«) 3* ' ' (AxY beírva ezt a (2) diffúziós egyenletbe a j. szakaszra a differenciálegyenlet: 2D dQj(t ) ( c D ahol fj(t)— a j. szakaszra érkező terhelés. Legyen <2/0 + D A |es p = D [yl. 2Ax ' (Ax) 2 lT'" r 2Ax (A*) 2 akkor tömörebben a differenciálegyenlet rendszer j. sora: Qj<t) = qQ hi(t) -(q+p) Q,{t) + pQ j +i(t) + fj (i(). (6) A differenciálegyenlet rendszer mátrix alakban: ŐiW " = &>(') ŐX') _Qn(t) _ q - q q o p p q - p p Qi(0 + fi(0 Ö2(t) f2(0 Qj(0 fj(0 _Q„(t) _ _fn(0 tömörebben 6(0-AÖ(0+/10 (7) A fenti differenciálegyenlet megoldása mátrix exponenciális alakban kereshető: i B(r) = Q(t) = m- Qo + / B(x) fix) di (8) o A lényeg, hogy az A együttható mátrixnak mátrix exponenciálisát kell előállítani, erre számos módszer van: sajátérték, sajátvektor rendszer kiszámítása, direkt módszer, a Taylor sor felhasználásával stb. Érdemes felfigyelni arra, hogy az A együttható mátrix dimenziója [idő 1], továbbá, hogy az A mátrix sorösszege zérus. A zérus sorösszegű mátrixok mátrix exponenciálisa B egy sor-összegű mátrix (Kontúr 1986). A B mátrbc már dimenzió nélküli lesz, tulajdonképpen súlyszámokat tartalmaz. Mégpedig úgy, hogy a súlyszámok összege éppen egy. Amennyiben B pozitív elemű mátrix, úgy a B mátrbc sorai nem mások, mint egy-egy n elemű diszkrét eloszlás előfordulási valószínűségei. B mátrix elemei akkor lesznek pozitívak elemi valószínűségek -, ha A mátrix negatív definit. Ez centrális sémák alkalmazásánál biztosan teljesül. Nem beszéltünk még a határokról, pedig nagyon fontosak. A £i(t) és a Őn(t) egyenleteiben találjuk meg a határfeltételeket. A határfeltételek lehetnek olyanok, hogy a határon az értéket, vagy a deriváltat írjuk elő. Valószínűségi megfogalmazásban mondhatjuk azt, hogy a határokon áteresztő, vagy visszaverő fal van. Az utóbbi esetben a tükrözés esete forog fenn. A B(t) mátrixnak csak abban az esetben lesz minden sorának összege egy, ha alul és felül is visszaverő fal van, ha akár alul, akár fölül, vagy mindkét helyen áteresztő fal van akkor B(t) mátrix sorainak összege kisebb mint egy és a sorösszegek exponenciálisan (e X t) tartanak a zérushoz; a rendszer kiürül. A térbeli első és második differenciálhányadosra d d 2 (—; j-j) még számos approximáció vethető föl. A térben diszkretizált és időben folytonos esetnek megfelel az alábbi visszafolyós kaszkád modell. Legyen a j. tározó kapcsolatban az alatta lévő 0+1). és a fölötte lévő (j-1). tározóval. Legyen a j. tározóban a t időpillanatban Sj(t) mennyiségű víz, akkor a lineáris tározó elmélet alapján a d tározóból a (j+1) tározóba folyó víz q • Sj(t), ahol q a „hidraulikai" jellemző és dimenziója l/idő. Mivel ún. visszafolyós kaszkádról van szó, így a víz j. tározóból a 0-1). - fölötte lévő - tározóba is folyik víz. Ez szintén legyen arányos a Sj(t) tározott térfogattal, értéke pSj(t). p értéke szintén hidraulikai jellemző és dimenziója l/idő. Homogén tározó sorozatot fölvéve, ahol q és p minden tározóban azonos, a j. tározóra fölírva a folytonossági - tározási egyenletet: = qSj-i(t) - (p+q) Sj(t) +pSj + 1(t) j=\,2,...n (9) Amint látjuk teljes formai analógia a (6) és (9) egyenlet között. Illetve, ha oldalsó hozzáfolyást is tekintbe veszünk a lináris visszafolyós kaszkád modellnél, akkor dSÁt) = qS H(t) - (p+q) Sj(t) + pS J +i(t) +fj '(/) j=l,2,...n (9a) | ahol fj' [m 3/s] dimenzióban az oldalsó hozzáfolyás. A (6) és (9) egyenlet között az egyetlen lényeges különbség az, hogy a vízhozamok helyett tározott térfogatok vannak. A linearizálási feltétel, amit a diffúziós hullám levezetése során tettünk, magába foglalja a Q=a.S lineáris közelítést, s ebben az esetben a két egyenlet azonossága nem meglepő. Ez csak azt érzékelteti, hogyha a diffúziós hullámegyenlet, ilyen-olyan megoldásával gyakorlatilag jó eredményt kapunk, akkor az több, mint csodálatos. Az átlagos lefelé folyási mérték az q-p, ami a térbeli diszkretizálás előbb bemutatott modellje szerint azt jelenti, hogy ez az érték c/Ax, tehát az átlagos átfolyási idő reciproka: i-f (.0, ' Az átlagos átfolyási idő pedig a medencék S térfogata s az átvonuló vízhozam alapján Q számolható. A q+p érték a diffúzióval fejezhető ki.
