Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)
6. szám - Kontur István: A véletlen bolyongás és diffúzió
KONTÚR I.: A véletlen bolyongás és a diffúzió 381 q+p = 2D (Ax) 2 (11) Mint láttuk az 1 modell esetén a p értéke akkor lesz pozitív, ha D c ; >' (Ajc) 2 2AX ahonnan a Ax felvételére az alábbi egyenlőtlenséget kapjuk: A 2 —> ax, c (12) vagyis, ha kicsi a diffúzió, akkor Ax egyre kisebb lesz. A diffúziós modell abban a határesetben, ha p=0, a kinematikus hullámmodellbe, illetve a Nash-féle lefelé folyós kaszkád modellbe megy át, ez abban az esetben áll elő, ha Ax = 2— választással élünk. Tehát speciális c Ax választással a diffúzió hatása lefelé folyós kaszkáddal, vagy Muskingum modellel is leírható. Erre vonatkozhat a Kalinyin-Miljukov féle jellemző szakasz módszer, s ebből adódik a hagyományos kaszkád modell oly széles körű alkalmazásának lehetősége, ha a szakaszolást megfelelően vesszük föl. Abban az esetben, ha p<0 a megoldásban hullámzások lépnek föl, amelyek a gyakorlati számítás szempontjából semmiképpen sem lesznek kellemesek. A sztochasztikus folyamatok elmélete alapján - nevezetesen a Poisson folyamatok alapján az alábbi formában lehet megfogalmazni térben diszkretizált időben folytonos diffúziós egyenletnek a felírását. A születéshalálozási folyamat a tározók sorozatára a következő. Legyenek az 1, 2, ... j, ... n tározók az állapotok. Annak valószínűsége, hogy egy részecske (vízrészecske, vízhozam lépcső) a (t, t+h) intervallumban a j. tározóból a (j+l)-be lép legyen: Xh. Születés-halálozási folyamat nómenklatúrája szerint tehát Xh annak a valószínűsége, hogy a (t, t+h) időintervallumban születik egy egyed (a víz magasabb állapotába: lejjebb kerül). Legyen |ih annak a valószínűsége, hogy egy részecske (vízrészecske, vízhozamlépcső) a j. tározóból a (j-1). tározóba kerül a (t, t+h) időintervallumban; meghal egy egyed. Legyen 1-Xh-fih annak a valószínűsége, hogy a (t, t+h) időintervallumban nem történik változás. Továbbá annak valószínűsége, hogy a (t, t+h) időintervallumban a részecske (vízrészecske, vízhozamlépcső) a j. tározóból a (j-2).(j-3)... (j+2),(j+3)... stb. tározóba kerül, legyen zérus. Tehát egy lépésben két tározót nem „repül át" a részecske. Ezek az átmenetvalószínűségek az alábbiak: Pj, j +i(h) = P(x(t+h)-x(t) = 1) - M + (h) P p hm = P(x(t +h) -x(t) = -1) = yJi + (h) Pj,j(h) = P(x(t+h) -x(t) = 0) = 1- A/i-h/i + o(h) P p i,7(h)=P,, h i(h) = ...Pj,j2(h) = Pj, h }(h) = ...o(h) ahol x(t) diszkrét valószínűségi változó a tározó sorszámát jelenti. Az állapotok sorozata egy Markov láncot alkot. írjuk föl annak valószínűségét, hogy a (t+h) időpontban a részecske (vízhozamlépcső) -j. tározóban van, a t. időpontbeli valószínűségek alapján. Mivel független folyamatokról van szó a valószínűségek összegezése alapján: Pj(t+h) = ViPj-iO) + |xh P j+ l(t) + (1 -Xh-vh)Pj(t) + a(h) Rendezve és a bal oldalra hozva P/t) - t, és a PÁt+h) - P{t) — = Pj(t) határátmentet elvégezve j[M- —» 0] a valószínűségekre egy differenciál egyenletrendszert kapunk: P ÁI ) = XPh(í) - (X + yL)Pj(t) + M-P, + 1(r) (13) j=l,2,... Nem nehéz fölfedezni az analógiát (6), (9) és (13) egyenlet között. X • q és (i • p fölvételével és Q • P és S • P azonosítással teljesen ugyanazt kapjuk. X a születési ráta és |t a halálozási ráta, mindkettő dimenziója idő" 1, ugyanúgy mint q és p esetén. A vízhozam és valószínűség, valamint a térfogat és valószínűség összekötése egy kis fejtörést okozhat A térfogat és valószínűség kapcsolata egyszerű, hiszen a térfogat additív; extenzív mennyiség, mint a valószínűség. Itt csupán arányosításról van szó. Tehát, ha a t=0 időpillanatban a rendszerben folyó szakaszban V térfogatú víz volt, akkor az anyagmegmaradás törvénye alapján ez a térfogat később is megtalálható, mégpedig éppen olyan valószínűséggel az egyes tározókban, amit a születés-halálozási modell leír, és így az S 1(t)=P 1(t)v, S 2(t)=P 2(t)V... stb. A vízhozammal való összevetésnél már kicsit óvatosabban kell eljárni. Valahogyan úgy, ahogyan Vágási István az entrópia számításnál készít ún. viszonylagos vízhozamokat, vagy pedig Szigyártó Zoltán eljárásával, vízhozamlépcsőkben számolva. Végeredményben a kiindulási megfogalmazásnak megfelelően úgy gondolkodhatunk, hogy Q folytonos vízsugárból, ami a felső szelvényen befolyik QPi(t), QP^t) stb. vízhozamok folynak keresztül az egyes szelvényeken. Itt természetesen folytonos vízsugarakkal kell dolgozni és a linearitás következtében a vízhozam négyszögimpulzusait az S-görbés szerkesztéshez hasonlóan előállítani. A n, és X számokkal fölírt mátrixot diffúziós hullám diszkretizálásánál A mátrix - a Poisson folyamat infinitezimális mátrixának, vagy infinitezimális generátorának A nevezik. A P, j(t) valószínűség az infinitezimális mátrix mátrix exponenciálisából kapható: P(f) = e , A Az A' mátrixnak minden sora zérus összegű, így P(t) sztochasztikus mátrix lesz és fennáll rá a Chapman-Kolmogorov összefüggés: n Píj (m)=2 w k-0 ahol ij a tározók, jelen esetben az állapotok. Amennyiben egy tározó-sorozat modellnél elnyelő állapotok, vagy ami ezzel azonos áteresztő falak lennének, úgy ezeket a rendszeren kívüli állapotokat is meg kell jelölni tehát, mintegy a határokat hozzá kell venni a rendszerhez, hogy az teljes legyen. És akkor alkalmazható rá a valószínűségi elmélet Ez nem más, mint, hogy teljes eseményrendszert kell vennünk. A térben és időben diszkretizált diffúziós modell esetén a M' ), QÍ.Í^-QÍ, 1 dt J'"'.~ At differenciálhányadost alkalmazva a j. tározóra az alábbi képletet kapjuk.
