Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)
6. szám - Kontur István: A véletlen bolyongás és diffúzió
KONTÚR I.: A véletlen bolyongás és a diffúzió 379 szúság dimenziójú. A Dirac deltára kapott impulzus válaszfüggvény dimenziója pedig [ido 1]. Az egységugrásra adott válaszfüggvény az impulzus válaszfüggvény integrálja: i F(x, t).fu(x£)dii-N{-^) + eTN(-^) (4') o ahol N (•) a standard normál - nulla várható értékű, egy szórású - eloszlás eloszlásfüggvénye, amely szinte minden valószínűségszámítási könyvben tabulálva megtalálható. A (4') eredmény levezetése Todoni-Bossi dolgozatában található. Az F(x,t) alapján a x, x+At időlépcsőre az egységárhullámkép alatti integrált terület már könnyen számolható: T+AI «(r,x,x + Aí)=f u(x,t)dt = F(x,x+At) - F{x,x) (4) T ahol már (4') képlet alkalmazható. Ez az összefüggés akkor alkalmazható, ha az Lj felső határ szelvényben Dirac deltaszerű vízhozamimpulzusok érkeznek. Abban az esetben, ha a x, x+At időszakasz közötti állandó vízhozam értékeket tételezünk fel, akkor a két At időlépcsővel eltolt S görbe különbségét kell képezni: iife x, x + A,) = ^[(x + Ar) F(x,x + A/) - tF (X,X) -(Fl(*,x + Af)-Fl(*,x))] (5) ahol Ez az eredmény Todini-Bossi cikkében található. A fenti eljárás tehát azt mutatja be, hogy a homogén diffúziós egyenlet megoldva folytonos tér és idő koordinátákban, majd a végeredményt: az impulzusválaszfüggvényt diszkretizáljuk. (Természetesen matematikailag és elméletileg helyesen, úgy, hogy az impulzusválasz-függvény megfelelő darabját integráljuk és nem úgy, hogy a sűrűségfüggvénynek csupán vesszük a diszkrét időpontokban kapható értékét, ami már csak dimenzió-okokból sem helytálló, és a kontinuitást is sérti, annak ellenére, hogy közelítően - elég sűrű felosztás esetén - nem fogunk rossz eredményt kapni.) Ha még az x tengelyt is diszkretizáljuk, akkor x helyébe Ax-et írva, Ax folyószakaszonként mehetünk lefelé és az időpontot mindig a fölötte lévő szakasz kifolyási idősora fogja adni. Todini-Bossi-nak ez a „végeredmény diszkretizálási" módszere ebben a megfogalmazásban egy felülről lefelé teijedési folyamattá alakítja át a diffúziós hullám folyamatát, minden lépésben csak az x-szelvényről, az x+Ax szelvényre történő átlépést vizsgálja az x szelvényben regisztrált vízhozam idősor t, t-At, t-2At, ..., stb, sorozata alapján, ahol ez a sorozat lehet Dirac deltaszerű impulzusok sorozata illetve négyszögimpulzusok sorozata, ennek megfelelően a diszkeretizált egységárhullámkép (4) illetve (5) alakú. (A folyonos árhullámkép pontjait kapjuk meg diszkrét időpontokban.) A diffúziós egyenlet diszkretizálásának fent leírt módszerén (i) kívül még alkalmazhatjuk a térben diszkrét időben folytonos (ii) megoldást, a térben és időben diszkretizált (iii) és a térben folytonos időben diszkretizált megoldást (ív). A második eljárás a leggyakoribb (Szőllősi Nagy András 1981). Az időt megtartva folytonosnak még mindig folytonos megoldást kapunk az időben, aminek utána ugyanúgy megadhatjuk a diszkretizált alakját térben és időben is, mint azt az (i) eljárásnál mutattuk. A negyedik (iv) eljárás nem túl gyakori, mivel itt a diszkretizált séma egy másodrendű differenciálegyenlet rendszerre vezet és ennek megoldása kevésbé tűnik kényelmesnek. A harmadik (iii) ún. diszkrét-diszkrét modell egy lineáris egyenletrendszerre vezet és Markov-láncokkal, a véletlen bolyongással való közvetlen analógiája a legszembetűnőbb. Ez az, amit mintegy tíz évvel ezelőtt visszafelé-folyós kaszkádmodellnek neveztem el - a Nash-fé\c csak lefelé folyó kaszkád modelltől való megkülönböztetésül. (Kontúr 1977). Az időben folytonos és térben diszkretizált diffúziós egyenlet megoldási út a vissza folyós kaszkád modell folytonos felírásával is megkapható, illetve az egész mint egy születés-halálozási Poisson folyamat tárgyalható (.Kontúr 1986). A diffúziós egyenlet diszkretizálása (térben és/vagy időben) általában a Taylor sor felírásából kapható különböző rendű közelítésekből kaphatjuk. Továbbá a differencia képzésnél alkalmazhatunk centrális; haladó vagy retrográd sémákat. Mindezek a tér és/vagy idő diszkretizálása során d d , d 2 —, — es a —=• dt dx d xi első és másodrendű parciális deriváltakra vonatkozik. Láthatjuk tehát, hogy számos diszkretizált forma írható fel (ii), (iii) és (iv) modellek esetén. Sok út van tehát és mindegyik célhoz vezet, csak a közelítés mértékére kell tekintettel lennünk. De a pontosság kérdését kár túlrészletezni, ha csak hinni lehet, hogy a diffúziós modell jó az árhullámok levonulásának számítására. Mondhatnánk ott a valóság: a Duna, Tisza, Körösök stb. árhullámai; nézzük meg hogyan alkalmazható itt, s ott ez, vagy az az eljárás! De ez már egy egész más területre vezet! Mit akarunk számolni? Mi a számítás célja? Milyen adatok, milyen számítási segédeszközök állnak rendelkezésünkre? Mik az időbeli korlátok? stb. Maradjunk csak a (2)-es diffúziós egyenlet különböző megoldási módszereinek vizsgálatánál. Még az is csak a (2) lineáris, térben és időben homogén differenciálegyenlet kiterjesztése, ha ezt a linearitást, homogenitást feloldjuk, és így tartományonként, darabonként, időszakonként lineáris és homogén megoldásokkal foglalkozunk. (Kontúr I. 1986). A linearitást is felfoghatjuk úgy, mint inhomogenitást: a struktúra, a törvényszerűség jellegének inhomogenitása, inhomogenitás a függő változóban. Ezeket az inhomogenitásokat a gyakorlat általában úgy szűri ki, hogy a teret (térbeli inhomogenitás) az időt (idő variancia, időbeli inhomogenitás), a függő változót (nem linearitás, függőváltozó inhomogenitás) - esetünkben a
