Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)
6. szám - Kontur István: A véletlen bolyongás és diffúzió
378 HIDROLÓGI AI KÖZLÖNY 1993. 73. ÉVF., 1. SZÁM { l-e2* 2, ha x >0, 0 különben. Todini és Bossi tanulmányában 2 AdR 1 DdB 12. lim max r-»+oc 1 <k<2n S n | <x^2n\ S^ = 0) = { YÍ-DV^ km-00 0 különben. , ha x > 0, O r, 2Ad R 1 — x n c = I 1 + + es D = A L 3BRd z J Bdx 2IB szerepel, ahol Q - a vízhozam, A-a nedvesített keresztszelvény, R - a hidraulikus sugár, B = dAJ dz a vízfelszín szélessége, Z - vízmélység, I - súrlódási veszteségből adódó esés, amit a Manning formulával számol , _« 2e 2 A 2R' / > Természetesnek látszik, hogy ilyen feltétel mellett az út, a kirándulás nem távolodik el olyan messze a kezdőponttól, mint a feltétel nélküli általános esetben. Valóban 11. -ben leírt eloszlás várható értéke: f 4x 2e~ 2* 2 dx = \V2K= 0,627, Jo 4 míg a 9. -ben szereplő eloszlás várható értéke: V? = 0,798. ji A fenti tételek igen sok bolyongási feladat megoldására adnak nagyon jó statisztikai közelítést. Még további számos összefüggés található W. Feller magyarul is hozzáférhető könyvében. További részletezést kíván, ha a bolyongás nem független, hanem egymástól függő ugrások sorozatából tevődik össze. A bolyongási problémák Markov-lánc leírása és az átmenetvalószínú'ségi mátrix megfogalmazása sok gyakorlati kérdésben jó segítséget nyújt. Külön fejezet foglalkozik az elnyelő állapotokat is tartalmazó bolyongással, ami bizonyos tönkremenési kérdésekkel kapcsolatos. A visszaverő falak közötti bolyongás szintén fontos családja a bolyongási modelleknek és a tükrözési elmélet hasznos alkalmazásával ér célt. (Feller 1970). 4. A diszkretizált diffúziós egyenlet: véletlen bolyongás A következőkben nézzük meg, hogy a diszkretizált diffúziós egyenlet és a véletlen bolyongás, illetve a valószínűségi modellezés kapcsolatát. A Saint-Venam egyenlet és a folytonossági egyenletből az egy dimenziós diffúziós hullám egyenlet levezetése különböző formában történhet (Hayami 1951, Dooge 1973, Price 1973, Todini-Bossi 1986). Az egy dimenziós diffúziós egyenlet alakja: + (2 ) dl dx dx Az egyes levezetések csupán abban különböznek, hogy c és D tényezőre milyen összefüggést adnak a hidraulikai paraméterek alapján, Például Dooge a , _ , _ Q o .. F 2 c = l,5v 0esD = — (1 + T) alakút adja, ahol v 0 - a középsebesség, Q 0 - a középvízhozam I 0 - az átlagos esés, B - a víztükör szélesség és F — a jellemző Froude szám. Végeredményben a formulák és számítások, úgy tűnik, hogy a gyakorlatban nem túl sok jelentőséggel bírnak, hiszen már a levezetés során, oly sok közelítés került a végső képletekbe, hogy a paraméterek hidraulikai öszszefüggésének inkább elvi, mint gyakorlati jelentősége van. A tér és időbeli inhomogenitások, továbbá a nemlinearitások, amiket a (2) diffúziós egyenlet mind figyelmen kívül hagy, csak a közelítést teszi lehetővé. A formulák természetesen hasznosak abból a szempontból, hogy diffúziós egyenlet két paraméterének c, D változási tartományát, hidraulikai vonatkozásait földerítsük. Bár kétségtelen, hogy hasznos, ha c és D paraméter számítására bizonyos mérhető (ponderábilis) változók állnak rendelkezésre és nem kell csupán a próbálkozásra, vagy az iterációs eljárásokra hagyatkozni, bár ez is egy járható út. A (2) diffúziós egyenlet homogén, ha f(x,t) = 0 és inhomogén, ha f(x,t) * 0. Továbbá a megoldáshoz szükség van még a Qo(x)=Q(x,t=0) kezdeti és a Q L1 (t)=Q(x=L bt) és QL 2(t)=Q(x=L2,t) határfeltételekre. A határfeltételekből kettő van: egy felső és egy alsó, ha a vizes gondolkodással egy folyóra gondolunk. Természetesen ezeket a felső és alsó határokat - a feladat jellegétől függően helyezhetjük el - egyiket-másikat a végtelenbe. A kezdeti feltétel Qo(x) tulajdonképpen a t=0 időpillanatban rajzolt vízhozam hossz-szelvénnyel azonos. Az f(x,t) inhomogenitást okozó tag a hosszszelvény mentén (x) és időben (t) változó hozzáfolyás, vagy elfolyás mértékét adja. A (2) képlet dimenzióit figyelembe véve ez [L/'/T 2]. A dimenziók szempontjából még lényeges, hogy és £[y]. A (2) egyenlet homogén részének f(x,t) s 0 megoldása az x = 0, t = 0 pontban ható ő (x,t) Dirac függvényre: u( x' t) = V4^DF e'^ (3 ) ahol x > 0, t > 0 tehát úgy az idő, mint a távolság csak a pozitív féltengelyre értelmezett. (Most olyan koordinátával dolgozunk, amelynek pozitív szára az árhullám-teijedés irányával egyezik meg és nem a folyókilométerezéssel, ami ennek éppen ellenkezője.) A (3) képlet csekély átalakítással egy x=ct [L] várható értékű és o x = yJlDt [L] szórású normális eloszlás sűrűségfüggvényével írható fel: ahol N/F, a x / - x várható értékű és o x szórású normális eloszlás sűrűségfüggvényét jelöli. Mindkettő hosz-
