Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)
6. szám - Kontur István: A véletlen bolyongás és diffúzió
KONTÚR I.: A véletlen bolyongás és a diffúzió 377 bolyongási trajektoriáknál a fölmetszés, illetve a lemetszés eseteinek felelnek meg a metszékek nómenklatúrájában.) 5. Minden n természetes számra = 2k) = k (k=0,l,2,...n) Ez az összefüggés a pozitív futamhosszúságok va2 k lószínűségi eloszlását adja meg (k=0 esetén ( ) = 1)6. Az úgynevezett arcus-sinus törvény a következő': 6. Minden 0 < ix < 1 értékre n 2 lim P(-rr < x) = — arc sin Vx N-»+°° N Pn A tétel bizonyítására Legrende — polinomokra érvényes formula fölhasználásával történhet (Rényi 1968). A 6. tétel azt az érdekes paradoxont fejezi ki, hogy 1 „, . 2 2 arc sin Vx eloszlásfüggvény deriváltja: F\x) •• 1 az x = r pont a legkevésbé valószínű. Az F(x) = — jtVx(l-x) 1 Ennek a sűrűségfüggvénynek az x = — pontban van n* 1 a minimuma. Ez azt jelenti, hogy az, hogy az — közelében van, ez a legvalószínűtlenebb. Minél távolabb esik az x szám az j -tői (0<x<l) annál nagyobb n* a valószínűsége annak, hogy -jr- érték x közelébe esik. Ennek éppen az ellenkezőjét várnánk. (n N - az Sj, S 2, ... S n pozitív tagjainak számát jelenti, tehát a poztív térfélen való tartózkodást. Szimmetria okokból ugyanez áll a negatív tagokra is.) Az előzetes megfontolásunk azt tartaná természetesnek, hogy a bolyongó pont kb. fele idejében a pozitív, a másik felében a negatív féltengelyen tartózkodjék. A 6. tétel szerint ez nem így van, hanem az arcus-sinus törvény éppen azt mondja ki, ha a bolyongó pont a pozitív térfélre sodródik, akkor már kis valószínűséggel kerül át a negatív térfélre és ugyanez fordítva is áll. A tengelyben tehát van egy „energiaküszöb", ami megakadályozza - megnehezíti - az egyik oldalról a másikra való átkerülést. Az elkeveredési problémákra alkalmazva tehát ez éppen azt jelenti - ha a véletlen bolyongás modellezését elfogadjuk -, hogy az egyik széléről a másik szélére való szennyező anyag átkeveredés KÍS valószínűségű, vagy más szóval, ha már valamelyik oldalra elég távolra eljutott a szennyezőanyag-részecske, akkor az már nagy valószínűséggel ott is marad. De megfigyelhető ez a hatás az idősorok elméletében is, ahol általában ezt az ún. Hurst-effektus alatt szokták tárgyalni, tehát a futamproblémáknál. A pozitív és negatív futamnak viszonylagos állandósága pl. a száraz és nedves periódusok egymásutániságát is magyarázza. így válik teljesen véletlen hatások összegződése végül is olyan folyamattá, amelybe bizonyos tendencia, vagy periodikus tulajdonságokat „látunk bele". Az átmetszések 0 n számára (tehát az S 1 ; S2, ... S n sorozatban szereplő nullák számára) n páros értékeire vonatkozik az alábbi tétel: 7. 7* 7n—k „ ) (k=0,l,2,...2n) ke: A SriV/ing-formula alkalmazásával 9 n várható értéM { e n } Az arcus-sinus törvény a következő alakban is kimondható: e n = sgn S n = akkor n = f 1, ha S n>0, Ví i -1, különben vagy ha S n = 0, de S D-i=l -1 < x <, +1 esetén: et +e 7 + ...+ e . 2 . I/TTT hm P( <*)•= arc sin V— n-»+oo n 31 2 Ej + e 2 + ...+E,, Az hányados n-»°o esetén tehát n nem tart nullához, noha ez természetes lenne, de erről már az előbb szó volt. Ennek ellenére igaz a következő Erdőstől, és Hunttói származó tétel: 8. N 1H hm A r-»+oo n 2Í = 0 i = 1 A legnagyobb ingadozásra az alábbi tételek vonatkoznak: 9. lim inax5„ n-»+00 1 zk^n <xVn) = I 2 <í> (x)—1, ha x > 0, 0 különben. 10. hm ^ max , „ , P{ S n ocVn) = «-*+oo 1 zk&i { . (_ 1) Veí±iiv 3 1 iH 0 különben 2*+l -, ha x > 0 Az alábbi tételek azzal a feltételes valószínűséggel íiják le a maximális eltávolodás értékét, hogy a bolyongó pont 2n lépés után visszatér az origóba, illetve a bolyongási trajektória 2n lépés után átmetszi a tengelyt: 11. Ii m ,p( max n-»+00 V] ls £ £ 2/J ;S n<xV2t\ S^-o)
