Hidrológiai Közlöny 1991 (71. évfolyam)
5. szám - Gáspár Csaba: Többhálós – multigrid – eljárással összekapcsolt peremintegrálegyenlet módszer, és annak szivárgáshidraulikai alkalmazása
287 Többhálós — multigrid— eljárással összekapcsolt perem-integrálegyenlet módszer, és annak szivárgáshidraulikai alkalmazása A cikkben a szerző a Darcy-féle szivárgási problémák numerikus megoldását tárgyalja. Megoldási módszerként a perem-integrálegyenlet módszert választja, és vizsgálja annak diszkretizálásának ós numerikus kezelésének kérdését. Kz utóbbira vonatkozóan a szerző új, iterációs megoldási módszert ismertet, mely sokszor előnyösebb lehet a direkt (pl. Gaitss-eXiminációval történő) egyenletmegoldásnál. Megmutatja azt is, hogyan kapcsolható össze a percm-integrálegyenlet módszer egy másik, egyéb összefüggésben rendkívül sikeres módszerosztállyal, az ún. többhálós vagy multigrid módszerekkel. A multigrid technika rövid ismertetése után ezt a technikát alkalmazza a perem-integrálegyenletek megoldására: az így nyert új módszer ínég a perem-integrálegyenlet módszernél is kisebb művelet igényűnek bizonyult. A tanulmány egy, a szabadfelszínű szivárgások számítására történő alkalmazással zárul. multigrid-módszer, perein-integrálegyenlet módszer, potenciálegyenlet, szabadfelszínű szivárgás Gáspár Csaba Vízgazdálkodási Tudományos Kutató Központ, 1095 Budapest, Kvassay Jenő u. 1. Kivonat: Kulcsszavak: 1. Bev ezetés Az alábbiakban a stacionárius Darcy-íé\e szivárgás numerikus modellezésével foglalkozunk, melyet általános esetben a div k grad u—f (1) alakú parciális differenciálegyenlet ír le: itt u a szivárgás sebességpotenciálja, k a szivárgási tényezők mátrixa, a jobb oldali / függvény pedig a szivárgási tartományban levő forrásokat és nyelőket írja le. Azt a speciális esetet fogjuk vizsgálni, amikor a szivárgási közeg izotróp, ekkor k egy pozitív skalárfüggvénv. Ha a közeg még homogén is, és nincsenek források ill. nyelők (ez nem túl erős megszorítás), akkor az (1) egyenlet a Au—0 (2) Laplace-e gyenletre egyszerűsödik. A (2) egyenlethez az egyértelmű megoldhatóság érdekében még peremfeltételt kell csatolni: ez szokásos módon az u sebességpotenciál vagy a Du/dn normális irányú derivált vagy e kettőnek egy «• u + p • f)al dn lineáris kombinációjának előírását jelenti a perem mentén. Általában a perem különböző szakaszain más-más típusú peremfeltétel adott (kevert peremfeltétel), de minden szakaszon meg kell adni peremfeltételt mégpedig pontosan egyet. A továbbiakban a következő kevert peremfeltételt vizsgáljuk: u — u x r± mentén <)u — F., menten (3) ahol r„ F 2 a perem egy felbontása. Feltesszük továbbá, hogy a vizsgált probléma kétdimenziós, bár meggondolásaink elvben háromdimenziós problémákra is minden további nélkül átvihetők. Nem foglalkozunk a (2)—(3) rendszer megoldhatósági kérdéseivel: feltesszük, hogy a (2)—(3) problémának alkalmasan választott függvénytérben létezik, éspedig egyetlen megoldása. A dolgozatban a fenti peremérték feladat numerikus megoldásának lehetőségeit vizsgáljuk. Röviden ismertetünk két elterjedt, de teljesen különböző megközelítést alkalmazó módszert, nevezetesen a perem-integrálegyenlet módszert, és a véges differenciák módszerére épülő multigrid eljárást. Mindkét módszer már jó tíz éve ismert, kutatott és alkalmazott: a két technika összekapcsolásával viszont egy olyan új módszert nyerünk, mely egyesíteni látszik a kettő előnyeit. Az eljárást a gáton keresztüli szabadfelszínű szivárgás klaszszikus feladatán keresztül illusztráljuk, megmutatva, hogy az eljárás számításigénye sokkal kisebb az eddig alkalmazott módszerek számításigényénél. 2. A perem-integrálegyenlet módszer Az általánosabb (1) egyenlet numerikus megoldására szokásos módon véges differencia vagy véges elem módszer alkalmazható. A speciálisabb (2) egyenlet ezenkívül még a perem-integrálegyenlet vagy peremelem módszerrel is kezelhető. Ismeretes (ld. pl. Brebbia et al. (1984), Liggett és Liu (1983), Gáspár (1982), hogy a (2) Laplace-egyenlet ekvivalens a következő perem-integrálegyenlettel:
