Hidrológiai Közlöny 1991 (71. évfolyam)
5. szám - Gáspár Csaba: Többhálós – multigrid – eljárással összekapcsolt peremintegrálegyenlet módszer, és annak szivárgáshidraulikai alkalmazása
288 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1991. 71. EVF., 5. SZAM a(x).M(x)+ J K{x,y)u(y)dr vr - J R(x, y)v(y)dr v = 0 (4) r Itt v jelöli a du/dn normális irányú deriváltat, a(x) jelenti a perem belső törésszögét az x perempontban (ha a perem történetesen sima x-ben, akkor oc(x) = n), a K és R magfüggvények pedig a következők: K(x, y) = <x — y, n u> • | x-y| (kettősréteg potenciál) R(x, y) — log | x —y | 1 (egyszerű réteg potenciál) ahol <., .> ill. |. | a kétdimenziós euklideszi skaláris szorzatot ill. normát jelölik. A (4) perem-integrálegyenlet a kétdimenziós tartománynak a peremén van kitűzve, tehát a feladat niérete „egy dimenzióval" kevesebb. A (4) egyenlethez ugyancsak a (3) peremfeltételeket csatoljuk: ismeretes, hogy az így nyert rendszer megoldása a (2)—(3) probléma peremmegoldását adja, azaz ezek után u és du/dn mindketten teljes peremen ismertek lesznek. A tartomány belsejében a megoldás előállítása egy teljesen különálló probléma. Ez egyenletmegoldás nélkül elvégezhető a GVeew-formula alkalmazásával: 2» •«(!)=- [ K(x,y)u(y)dr v + r + f R(x,y)v(y)d.r y (5) r ahol most már az x pont a tartomány egy tetszőleges belső pontját jelöli. Megjegyezzük, hogy az (5) összefüggés numerikus realizálására a szivárgáshidraulikában nagyon sokszor nincsen szükség, mert a probléma természete olyan, hogy a megoldás csak a peremen érdekes. Tipikusan ilyenek pl. a műtárgy alatti szivárgások vagy a gáton keresztüli szabadfelszínű szivárgások feladatai: ekkor sebességpotenciálokat (vagy a belőle számítható nyomásokat) ill. be- vagy kilépő gradienseket, tehát szivárgási sebességeket kell számítani, de csak a perem mentén. A (3)—(4) perem-integrálegyenlet numerikus megoldása legegyszerűbben az integrálegyenletek kollokációs módszerével történhet. Ennek lényege a következő. A peremgörbét helyettesítjük egy x^, x 2,.. .Xtf csúcspontokkal rendelkező poligonnal, ahol N egy kellően nagy szám; az u ill. v megoldásokat pedig e poligon fölött szakaszonként lineáris vagy szakaszonként konstans alakban keressük. Ezt az alakot behelyettesítve a (3)—(4) egyenletekbe, az egyenlőség teljesülését pedig egy diszkrét ponthalmazon -— kézenfekvően, de nem kizárólagosan az x t, x 2,. . . x i V csúcspontokban, vagy az egyes oldalak középpontjában — megkövetelve, az ismeretlen csomóponti értékekre egy lineáris egyenletrendszert kapunk. Lehetséges u-t és v-t egyaránt ugyanolyan formában, pl. szakaszonként lineáris formában, de lehetséges pl. u-t szakaszonként lineáris, r-t pedig szakaszonként konstans alakban keresni, ez utóbbi választás jobban idomul ahhoz a tényhez, hogy az u és v függvények eltérő simasági tulajdonsággal rendelkeznek. Nincs akadálya annak sem, hogy magasabbrendű vagy más típusú közelítéseket alkalmazzunk. Ezek mind a peremintegrálegyenlet módszer egy-egy variánsát szolgáltatják. A perem-integrálegyenlet módszer, mint ismeretes, nem alkalmazható olyan széleskörűen, mint a véges differencia vagy véges elem-módszer (lényegében állandó együtthatós ill. arra visszavezethető problémák kezelésére alkalmas), de amikor alkalmazható, akkor jelentős előnyöket mutat fel az előző két módszerrel szemben. Ezek az előnyök az alábbiakban foglalhatók össze: — nem kell a teljes tartományt diszkretizálni, azon valamilyen jó struktúrájú elemfelbontást kialakítani: ennek helyébe a peremgörbe diszkretizálásának jóval egyszerűbb problémája lép; — a diszkrét egyenletek összeállítása bármilyen peremfeltételtípus esetén igen egyszerűen keresztülvihető; — jól approximálja a megoldás szingularitásait; — a megoldás műveletigénye kisebb; — ha a megoldásra csak a perem mentén van szükség, akkor a módszer valóban csak ezt szolgáltatja, míg a másik két módszer mindenképpen adja a közelítő megoldást a tartomány belsejében is, így ilyen értelemben felesleges számítással járnak. Másrészt viszont a perem-integrálegyenlet módszer alkalmazásakor szembe kell nézni azzal a ténnyel, hogy a módszer által szolgáltatott algebrai egyenletrendszer mátrixa semmiféle jó tulajdonsággal nem rendelkezik, ami a megoldást elősegítené. A mátrix nem szimmetrikus, és teljesen kitöltött mátrix, ennélfogva a megoldása jobbára csak a szokásos Gauss-eliminációval történhet, ami nagyobb méretű feladatok esetén numerikus nehézségekhez vezethet. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy a megoldás műveletigénye az ismeretlenek számának harmadik hatványával növekszik. A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy ez a hátrány miképpen küszöbölhető ki. E célból kombinálni fogjuk a perem-integrálegyenlet módszert egy másik rendkívül sikeres módszerrel, melyet multigrid módszernek neveznek. 3. Multigrid módszerek Az elnevezés az első alkalmazási területre utal, a parciális differenciálegyenletek végesdifferenciás approximációjára. Valójában inkább egy új szemléletmód érvényesítéséről van szó, arról, hogy a megoldandó jjroblémát egyszerre több approximációs szinten kell kezelni. A hagyományos szemlélet szerint pl. egy parciális differenciálegyenlet véges differenciás vagy véges elemes megoldásához
