Hidrológiai Közlöny 1990 (70. évfolyam)
4. szám - Szigyártó Zoltán: A Saint Venant-egyenlet levezetése a Narier–Stokes egyenletből hidraulika stochasztikus módszereivel
SZIGYARTÖ Z.: A Saint Vénant egyenlet 227 2. A Saint Vénant egyenlet levezetése A levezetés alapja a N avier—Stokes egyenlet görbevonalú koordináta-tengelyek esetén is jól alkalmazható —jj-+grad— v X rotv=I 1 , V gradm rot rotv £? Q Y =Qy u gy — f= — srads ff (5) Másoldalról a nehézségi erőtér és a turbulencia miatti gyorsulások következtében P=Po+ yh+Pt (6) ahol p 0 a vízfelszínre ható nyomás, h a z magasságú pontban a vízborítás magassága és Pi a görbevonalú mozgásból ós az áramvonal menti gyorsulásból származó nyomás. így gr&áp+ • 1 Y - grad;; n-f grad/t-f gradpi (7) (1) formájú alakja (Budó, 1965., 354. o.) amelyben 1' az egységnyi tömegre ható külső erő, a „külső térerősség" mint vektormennyiség, v a sebességvektor, p a nyomás, n a sűrűség és rj a dinamikus viszkozitás jele, t az idő. Elosztva az egyenletet a nehézségi térerősség nagyságával, <7-vei, s figyelembe véve, hogy a y fajsúly Az (5) és (7) összefüggést a (3) egyenletbe helyettesítve, majd az egyenletet rendezve, s a Z = z+h ^ (8) jelölést bevezetve (amelyben a Z éppen a vízfelszín magasságával egyenlő) így kapjuk tehát azt az eredményt, hogy a potenciálfelületre merőleges függővonal (a „függély") egy z=Z—h pontjában az energiaviszonyokat a l + gradv 3 + gradZ + -i- gradp 0+ !7 <> l *ff Y ^(jj + i rot rotv=U (2) az egyenletet az 1 (Ív 1 , „ 1 7T t—h —=— gradv 2 v X rotv= (J dl 2<j g 1,1 , n =— X gradw — rot rotv (3) ff Y Y alakot veszi fel. Rátérve az egyes tagok elemzésére, a Földön a folyadék tömegegységére ható í erő (a vízfolyás kanyarulataiban, a kényszermozgás következtében jelentkező centripetális erőt elhanyagolva, vagyis egyenes mederszakaszt feltételezve) — a nehézségi erőből, — a Föld forgásából adódó centrifugális erőből, — a forgó Földön végbemenő mozgásból származó Coriolis erőből és — a Föld szögsebességének, továbbá a forgástengelyének a változásából származó erőből tevődik össze. Könnyen belátható, hogy az általánosnak tekinthető gyakorlati feladatok megoldása során ezek közül csupán az első jöhet számításba. Tehát í = —grad(g-z); (4) ahol z a potenciálfelületre merőlegesen mórt távolradpt v X rotv 4- Y "ff Y képlet írja le, A legtöbb hidraulikai feladat megoldása sofáii azonban tekintettel kell lenni arra, hogy a vízmozgás turbulens, s így az érdeklődés nem a sebességek, nyomások pillanatnyi-, hanem azok középértékére irányul. De tekintettel kell lenni arra is, hogy a számításokat általában nem egy pont, hanem csak egy keresztszelvény adataira támaszkodva tudjuk elvégezni. Vagyis olyan irányított síkfelületet veszünk alapul, melynek nagysága azonos a nedvesített felülettel, a normálisa pedig irány ós értelem szerint egybeesik az áramlás főirányával, a középsebessóggel. Alihoz viszont, hogy ezt megtehessük a (9) képletből meghatározott, s egy pontra vonatkoztatott átlagértékeket még a keresztszelvény területére is kell vonatkoztatni, azaz ki kell számítani azok területi átlagát is. A középérték-képzés egyszerűsítésére — a (4) összefüggés felírásakor alkalmazott feltétellel összhangban — tegyük fel, hogy a keresztszelvény környezetében a meder prizmalikus (s így egyenes); vagyis, hogy a pontbeli sebességek középértéke a szelvény közópsebességével megegyező irányú, s hogy a keresztszelvényében a folytonosan változó görbevonalú áramvonalak mentén végbemenő vízmozgás hatásai kiegyenlítődnek (középértékük zérus, s így a keresztszelvényben a vízfelszín vízszintes egyenes). Vegyük figyelembe továbbá, hogy az összeg középértéke egyenlő a tagok középértékének az összegével, s hogy a középértéket egy integrál definiálja, s így a középérték-képzés és a differenciálás sorrendje felcserélhető. így — a turbulencia következtében szükséges, egy pontra vonatkozó átlagértékképzést 3/,-vei, a területi átlagképzést M a-val jelölve — felírható, hogy í ff 1 dv m ff M (10) M '[ M íbV gradv 2)] =
