Hidrológiai Közlöny 1990 (70. évfolyam)
4. szám - Szigyártó Zoltán: A Saint Venant-egyenlet levezetése a Narier–Stokes egyenletből hidraulika stochasztikus módszereivel
228 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1990 . 70. ÉVF. 3. SZÁM 1 1 ^ grad{M J[M ((v2)]}=-^-grad(aW) (11) M a [Mí(gradZ) ] =gradZ m=gradZ (12) gradjj 0)]=-|- grad{M^[M ((^ 0)]}= M,[m|1 gradp,)]=y grad{M^[M((p«)]} = M H-i -—grad^/ m=0 V v X rotv + — rot rotv ff Y :1 + D 2 m D/ V m amelyben A (19) kifejezést a (18) összefüggésbe behelyettesítve így juthatunk tehát arra a következtetésre, hogy prizmatikus, s így egyenesvonalú mederben a keresztszelvény átlagos energiaviszonyait az =— grad^ o m (13) (14) (15) azzal a megjegyzéssel, hogy itt az m index a turbulencia miatt képzett pontonkinti átlagértékekből a keresztszelvény területére vonatkoztatott középértéket jelöli és (16) a keresztszelvényen belüli sebességeloszlás egyenlőtlenségétől és a turbulencia viszonyoktól függő „módosított Coriolis tényező"; oly módon, hogy az azt definiáló (16) kifejezésben D m 2 a meder keresztszelvényének egyes pontjaiban érvényes átlagsebességeknek a teljes keresztszelvényre vonatkoztatott varianciája, továbbá (17) 2 2 2 í)~ x, Dy és I)z a keresztszelvény egyes pontjaiban az x, az.y és a z tengely irányában mutató, s a turbulenciából származó sebességkomponensek varianciája. Mindezt behelyettesítve, az egy pontra és a turbulens vízmozgás egy adott t időpontjára vonatkozó (9) kifejezés a teljes keresztszelvényre és a turbulencia szempontjából átlagos viszonyokra vonatkozó 1 3v m g rad(a*üm) + gradZ + ff <H 2ff ° 1 + —grad;> o m + /=0 (18) összefüggésbe megy át. Vegyük végül figyelembe azt, hogy a középsebesség irányával megegyezően választott x tengely miatt a gradiens átmegy az x szerinti parciális differenciálhányadosba, s bogy a p o m x tengely menti változása igen jó közelítéssel zérusnak tekinthető: 1 , 1 ÖPom n (19) 1 dv m ^ 1 d(«.*v m) | dz |/== o i)x f)x (20) ff dt 2g összefüggés írja le. Ebben az összefüggésben az / kivételével már minden taggal részletesen foglalkoztunk. A hátramaradt egyenlet kérdés tehát az 1 értelmezése. Könnyen belátható azonban, hogy az csakis a fajlagos energiatartalom egységnyi hosszra eső átlagos veszteségét jelölheti. Mi sem bizonyítja ezt jobban, minthogy permanens egyenletes vízmozgás esetén, vagyis amikor dv k _ d(x*v m) _ n az / éppen a vízfelszín esésével egyenlő nagyságú, de azzal ellentett előjelű értéket jelöl, amely dz dx cO (22) miatt mindig pozitív. Következésképpen a fajlagos energiatartalom egységnyi hosszra eső veszteségének a helyébe — a gyakorlati hidraulika tapasztalatai szerint — jó közelítéssel beírható a v m=CYR-I Chézy képlet átrendezésével adódó Vm C-R (23) (24) kifejezés, amelyben természetesen C a Chézy féle sebességi együtthatót, s R a .hidraulikus sugarat jelöli. így pedig a végeredmény valóban a Saint Vénant egyenlet szerinti 1 dv n 1 Í)(ol*Vm)dZ_ Vm dx i)x (r-R (25) ff Bt 2g kifejezés lesz. * * Ilyen módon vezethető le tehát a víztér egyetlen pontjának az energiaviszonyait szabatosan leíró, vektorális alakú Navier—Stokes egyenletből az egy szelvény átlagos energiaviszonyait jellemző Saint Vénant egyenlet (Kozák, 1977., 70. o.); amelyhez azonban most még néhány megjegyzést kell fűzni. Mindenekelőtt hangsúlyozni kell azt, hogy a (20) összefüggésig a levezetés elméleti vonatkozásaiban teljesen szabatos. Empirikus összefüggés figyelembevételére csupán az 1 számíthatósága érdekében volt szükség. Ez az az empirikus összefüggés azonban, amelyet a nempermanens, nyíltfelszínű, turbulens vízmozgás jellemzésére vállalkozó bármelyik más levezetés is elkerülhetetlenül figyelembe vesz; amellett, hogy még egyéb, elméletileg nehezen indokolható megoldással is él.
