Hidrológiai Közlöny 1987 (67. évfolyam)
1. szám - Emir Zelenhasic–Attila Salvai–Bojan Srdjevic: A Tisza kisvízi eseményeinek sztochasztikus elemzése
E. ZELENHASIC—A. SALVAI—B. SRDJEVIC: A Tisza kisvizei 11 3.2. A v-edik kisvízi esemény előfordulási idejének eloszlása Mint ismeretes ( Parzen, 1966) a Poisson-féle valószínűségi törvényt követő események sorozatában a v-edik esemény előfordulása gammaeloszlást követ. Todorovió (1970) nyomán írhatjuk, hogy Fr(x)=P(T,^x) (21) ahol x y a v-edik kisvízi esemény előfordulási időpontja, amelyet valamely önkényesen megválasztott < = 0 kezdeti időponthoz (pl. január 1-éhez) viszonyítunk. Ekkor F X{X)= 2 (22) A (22) egyenlet a v-edik kisvízi esemény előfordulási időpontjának az eloszlásfüggvénye, amely az »-1 Fr(x)= 1- %P(Ef) (23) j- 0 alakba is írható. Jelölje a megfelelő sűrűségfüggvényt fr (x). Figyelembe véve a (20) egyenletet és x szerint deriválva az F z(x) eloszlásfüggvényt, Todorovió és Yevjevich (1969) szerint: X X expí- J A(s)dsJ ts=0 (24) l A{t)= J k(s)ds (25) F t(x)=P(E t 0) + k = 1 » = 1 A (28) eloszlásfüggvény úgy értelmezhető, mint annak valószínűsége, hogy a [0, t] időintervallumban előforduló valamennyi D, deficit értéke kisebb x-nél vagy egyenlő x-szel. A (28) egyenlet a tetszőleges adott [0, t] időintervallumbeli legnagyobb víztömeghiány legáltalánosabb kifejezése. Ha űmai — 0, akkor F t(0)=P(E' 0) (29) Ez annak az eseménynek a valószínűsége, hogy az adott [0, <] időintervallumban nem fordul elő deficit. A (28) egyenlet azonban csak akkor használható valamely konkrét feladat megoldására, ha először valamelyik speciális alakjára redukáljuk, vagyis meghatározzuk az adott esethez tartozó f| (Dm) n El (30) ahol X(x) az időegység alatt előforduló kisvízi események átlagos száma, amely az időnek 1 éves periódusú determinisztikus periodikus függvénye. A (19) egyenlet szerinti várható érték: valószínűségeket. Ezt Zelenhasic (1970) oldotta meg arra a hidrológiailag fontos esetre, amikor a P(D V-sx) eloszlásfüggvény a gamma-eloszlások családjához tartozik és ugyanakkor a [0, t] időintervallumbeli vizsgált események számának P(E\) k eloszlása Poisson-típusú, továbbá a (D v^sx) éB az Eh események függetlenek egymástól. Ez esetben a D ms ix(t) folyamat generátor függvénye : oo W t(u)=e~ u+ ** ß* f X' . o+ 3.3. A legnagyobb deficit eloszlása A kisvízi események elemzésének egy másik' érdeklődésre számot tartó valószínűségi változója a legnagyobb deficit. Tekintsünk egy [0, í] időintervallumot és jelöljük (11) szerint Z) ma3 [(í)-vel az intervallumban előfordult D v deficitek maximumát. A D m& x(t) folyamat a jelen tanulmányban alkalmazott elméleti megfontolás lényegét képviseli. Anax(<) eloszlásfüggvényét F t(x)-szel jelölve: F t(x)=P{D max (<)=sx}, í>0, D max 0 (26) Todorovic (1970) az Fr> n ]. d x( x) függvényt a P{supZ)^z| V(t)} (27) feltételes várható értékként állította elő és az alábbi eredményre jutott: . expíux—ßx—Xteß x £ ^ \dx, (31) i = 0 ahol a>0 és /3>0 a gamma-eloszlás paraméterei. A vizsgált esetben valamennyi abszolút momentum értéke a fenti W,t(u) generátor függvényből kapható: E d (t)=A t ß ms\ oo / y s + m • exp\-y—Xt e-v £ -~Uy, (32) 4=0 amelyben, az egyszerűség kedvéért az s = a—-1 és az y=ß-x helyettesítéseket alkalmaztuk, továbbá m = \, 2, ... az abszolút momentum rendje.
