Hidrológiai Közlöny 1986 (66. évfolyam)
4-5. szám - Kontur István: Sztochasztikus fedőréteg modellek a talajvízállás előrejelzésére
250 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1986. 66. [ÉVFOLYAM 3. SZAM A negatív binomiális eloszlás első és második momentuma : m( 1 — q) M( !) = m (11) *« zHJü- i) [ i • q(z)] i~ m^\q(z)'\ m^\ (12) iszm. A y(z) és m(z) paramétereket éppen az első és második momentumok M( £) ésZ) 2(|) alapján lehet meghatározni, melyek természetesen a talajvíz mélységének a függvényei: q(z)-. és m(z) = M(£)+D*(í) 2.2 Folytonos idő, diszkrét állapot Abban az esetben, ha a talajfelszín és a talajvízszint közötti talajhasábot m állapotú, de folytonos állapotváltozása modell írja le, akkor a folytonossági egyenlet az elemi tározókra felírva, az ezekből alkotott differenciálegyenlet rendszer: q q* ami a paraméterek becsléséhez használható fel. Érdemes megfigyelni, hogy a diszkrét idejű, diszkrét állapotú rendszer esetén a nulla időpontban induló hatás először csak az rn időpontban jelentkezik. Ez lehetőséget ad arra, hogy a csapadók, illetve a párolgás talajvízszintig való terjedésének minimális idejét (ím In) figyelembe vegyük, ha erre vonatkozóan rendelkezünk valamilyen méréssel. Az állapotok száma t min alapján ós a felvett At időlépcső alapján becsülhető: ímin/ At. A (9) összefüggéssel leírt negatív binomális eloszlás az egységimpulzusra adott válaszfüggvény, és ez megegyezik f t(z )-ve 1, illetve ^(zj-vel, a csapadók, illetve a párolgás esetén. A folyamatot jellemző válaszfiiggvónyek függhetnek a talajvízmélységtől ezt a paramétereken keresztül lehet figyelembe venni; a paraméterek a talajvízmélység függvényei: 8(0 —11 8(0 ahol s(0 az a dS^O/dí, dS 2(0/dí, váltakból alkotott vektor és (13) .dS m(t)/dt deri11 = -K K -K K -K (14) ha az elemi tározóra az y j(t)=K-S }(t) (15) hidraulikai összefüggés írható fel, ahol yj(t) a /-edik tározóból kifolyó vízhozam idősora [L 3/T] Sj(t) — a j-edik tározóban tárolt vízmennyiség [L 3J K — a tározási tényező [T1]. A (13) differenciálegyenlet rendszer megoldása az állandó együttható mátrixú differenciálegyenlet-rendszer megoldásaként adódik. A lí együttható mátrix elemei állandóak —- feltételezésünk szerint — így a felcserélhetőségi reláció triviálisan teljesül és a rezovlens mátrix alakja: -11. (<-ío) e A matematikai levelezést mellőzve csak utalunk rá, bogy a spektrálfelhontás elméletét alkalmazva a B mátrix saját értékeit kell meghatározni, majd mivel B mátrix sajátértékei in-szeresek az Hermite-ié\e mátrixpolinomokat alkalmazhatunk (Rózsa 1974). A homogén lineáris elsőrendű differenciálegyenlet megoldása: 8(0 = -K(t-l o) 1 K-(t-t 0 ) v K*.(t-t 0)* K.(t-t 0) 21 K^.(t-t „)» (m-l)! K-(t-t 0) 1 •s(í 0) (16) A t 0= 0 és s(0) = [1,0,0, ..., 0] felvétellel az egységimpulzusra az ra-edik tározó állapotváltozási idősora: Km-lpnSm(t) = és a kifolyási idősor: (m-l) Ki y(t)—K-S m(t) = (m-ljV o-lit (17) (18) ami teljesen megegyezik az wi-ed rendű gamma eloszlás függvénnyel, ami természetes is, ha meggondoljuk, hogy a (15) alakú lineáris kifolyási idősor az átvonulási idők exponenciális eloszlását írja le. Továbbá ismert, hogy m számú exponenciális elosztású valószínűségű változó összege gamma eloszlást követ. A véletlen bolyongási modell és a tározó sorozat fizikai modellje közötti analógiát ismét az teszi lehetővé, hogy valószínűségi és a fizikai rendszer is lineáris.
