Hidrológiai Közlöny 1986 (66. évfolyam)
4-5. szám - Kontur István: Sztochasztikus fedőréteg modellek a talajvízállás előrejelzésére
KONTUR I.: Sztochasztikus fedőréteg modellek 249 nos és /j(z)-vel, ha az idő diszkrét. Ugyanígy feltehető a kérdés, hogy mi a valószínűsége annak, hogy a zérus (kezdeti) időpontban a talajfelszínről elpárolgó vízrészecske (egységnyi párolgás) hatása a t (illetve i) időpontban a z mélységbe elér, vagyis csökkenti a talajvízállást? Ez a valószínűség egy állandó tényezőtől eltekintve megegyezik a már leírt q(z,t) értékkel, ha az idő folytonos és (ji(z)-ve 1, ha az idő diszkrét. A csapadék és a párolgás hatását is mindig a talajfelszíntől kiindulva lefelé irányuló mozgással modelleztük. Ez a párolgás esetében azt jelenti, hogy az elpárolgó vízrészecske mintegy antirészecske végzi bolyongási útját a talajhasábban lefelé, de mivel antirészecske, így nem víztöbbletet okoz, hanem vízrészecskéket semmisít meg, közömbösít. Az antirészecskék képzése egyszerűen úgy történik, hogy a párolgás értékét negatív előjellel látjuk el. Jelen tanulmányban nem foglalkozunk a fedőréteg vízháztartásával csak a talajvízig érő hatásokkal, vagyis az ra-edik kaszkádból kifolyó vízhozammal vagy víztérfogattal, illetve párolgás esetén kifolyó negatív vízhozammal, vagy víztérfogatta 1. Érdekes megfontolás tárgya lehet, hogy ha a talajfelszínről való párolgást anticipatorikus (az okozat megelőzi az okot) viselkedésűnek tekintjük, hiszen a talajfelszínen való párolgáshoz a víznek előbb a talajvízből a háromfázisú zónába kell kerülnie. A lineáris rendszerek szimmetrikusak ós megfordíthatok. 2. Diszkrét és folytonos idejű és állapotú talaj vízállás modellek A talajfelszíntől a talajvízig terjedő z vastagságú talajhasábot m számú lamellára bontva vizsgáljuk a lamellákban tározott víz térfogat változását. A tározott vízmennyiség a rendszer állapotát írja le. Az alábbiakban az időt, illetve az állapotokat fogjuk folytonosnak, vagy diszkrétnek kezelni és en7. ábra. Diszkrét állapotú rendszer és válaszfüggvényei (b). Folytonos állapotú rendszer és válaszfüggvényei (o) nek megfelelően négy féle modellt nyerünk. ( í. áh' ra) 2.1 Diszkrét idő, diszkrét állapot Az m tározóból álló rendszerben annak valószínűsége, hogy az egyik tározóból a másikba átkerüljön egy vízrészecske egy lépés alatt (At) legyen: q. Jelölje Sj vektor a tározók állapotát az i-edik időpontban, akkor az állapotból az 8t állapotba való átmenet: , , Si = A Si_i (3) ahol A = 1 -q 9 l-q 1 -q (4) A az állapotát menet-valószínűségi mátrix felírható az egységmátrix lés egy alsó nilpotens mátrix N összegeként (Rózsa, 1974): X=(l-q)I+q N. (5) Az A mátrix jfc-adik hatványa a binomiális tétel alapján és figyelembe véve a nilpotens mátrixok tualajdonságát: m — 1 3=0 ' (6) Az utolsó tározóból kifolyó vízmennyiség: yi-qSm, i (7) ahol S m,t az m tározó állapota a i időpontban. Ha a tározó állapota a zérus időpontban s 0 volt, akkor: Si=A íS 0. (8) A kezdeti időponthoz tartozó indulóvektor: 0 Sn= 0 amiből következik, hogy az A* mátrixnak csak a bal alsó sarok elemére van szükségünk. így: í l \ 1 -(1 — qY-m.qm haiam V m —1 ) . Vi= n , • (9) 0 ha km, ez az összefüggés teljesen megegyezik a negatív binomiális eloszlással, ami természetes is, hiszen egyetlen lineáris tározóból való részecskeeltávozás geometriai eloszlással írható le, tehát m darab sorba kapcsolt tározó m-ed rendű negatív binomiális eloszlással írható le (Prekopa, 19G2; Rényi, 1966). A valószínűségi változó itt az idő és mivel diszkrét idejű rendszerről volt szó, így természetesen •P(É=» +*)= ( m+ t~ 1 )a <1 Yr (10) k = 0, 1, 2, . .
