Hidrológiai Közlöny 1985 (65. évfolyam)

6. szám - Dr. Kontur István: A talajvízállás hosszú idejű előrejelzése

364 Hidrológiai Közlöny 1985. 6. sz. Dr. Kontur I.: A talajvízállás előrejelzése Az autokorrelációs függvények kezdeti szakasza igen jellemző a folyamatok belső struktúrájára: ha egy lépéses Markov folyamattal állunk szemben, akkor r

2 = r

1

5 (4. ábra a részlet), ha r

2

<

ri

2> (amint azt helyesen jegyzi meg Rétháti László), akkor ebből a periodikus tulajdonságra következtethetünk. Alkalmazzuk a talajvízállásokra a másodrendű autoregresszív AR (2) modellt: Z< = + 0

2z/_

2+ a

t, (2) ahol Zt — a talajvízállás közepes mélységének az eltérése a sokéves átlagtól a t évben, a

t — a véletlen komponens (Gaussi, fehér zaj folyamat), 0

1 0

2 —a szorzó állandók. A (2) alakú előrejelzési egyenlet (másodrendű Makrov folyamat) az autokorrelációk előállítása az alábbi formában adódik: r

i = 0

1r

i_

1+0

ar

t_

a; 0, (3) r

k = {sgn(0

í)Yd

kBÍn(2nf

ok + F) sin F ahol sgn0

1- + 1, ha 0

1>O és sgr»^) = -1, ha 0^0, d —a lecsengési faktor, /

0 —a frekvencia, F —a fázis szög. Képletszerűen cos2 rrf

0 — 2 > 1 vény már az első lépésnél negatív tartományban van. Ez a hidrológiai idősorokra nem jellemző. Az autokorrelációkból a 0, és 0

2 mint ismeretes a Youle—

Walker egyenletből számolható: ri(l~r

2) 1 -r\ 1 -r\ ahol r

0 = 1 és r

1=0

1/(l - 0

2). Akkor, ha az AR (2) modell karakterisztikus egyenletében a diszkrimináns pozitív: 0^ — 40

2 > 0 akkor a gyökök valósak [Íj. Az autokorrelációs függvény, vagy folyamatosan aszimptotikusan tart a zérushoz, vagy alternálva, hol pozitív, hol negatív értéket felvéve. Az utóbbi hidrológiai sorozatokra általában nem jellemző. Ezzel szemben ha adiszkrimináns negatív: 0

X

2 — 40,< 0, akkor a gyökök komplexek és így az autokorrelációs függvény periodikus lesz, függetlenül attól, hogy periodikus komponens van-e az idősorban avagy sem. Ezért ezeket az idősorokat pszeudó periodikus tulajdonságúaknak nevezzük. Minden ilyen esetben az autokorrelációs függvény egy lecsengő szinusz hullám: 2Y -0

2 1 A-d

2 tg F = T^

rtg2nf

0. Abban az esetben, ha F°< 90° akkor az autokorrelációs függvény a pozitív tartományból indul, majd több-kevesebb lépés után áttér a negatív tartományba, majd vissza stb. Ez megegyezik azzal, amit a talajvízállás idősorok autokorrelációs függvényénél tapasztalunk. Abban az esetben, ha 90°< i>"°< 180° az autokorrelációs függA 4. ábra szerint szinte kivétel nélkül

2^ >r

2 és ezt mutatja Rétháti László által szerkesztett görbe is, vagyis 0

2 minden esetben negatív ez pedig magában rejti annak lehetőségét, hogy 0 ®+40

2<O teljesüljön, tehát az autokorrelációs függvény pszeudó periodikus legyen. Ezt a határt r

s és r

2 összetartozó értékpárjai jelentik, amit az alábbi összefüggések felhasználásával kapunk: 0, _ 0? Az AR (2) modellek érvényességi tartománya az r 2 = 2r*~ 1 összefüggéssel fejezhető ki. A 4. ábrán ezt is megrajzoltuk. Abban az esetben, ha r

0( = 1), r

x és r

2 egy egyenesen fekszenek, akkor az r

x és r

2 közötti kapcsolat: r

2 = 2^-1, ami szintén látható a 4. ábrán. A4, a ábra szerint, ha összehasonlítjuk az r

2 = r

x 2 elsőrendű eutoregresszív modell autokorrelációs függvényét, a Rétháti által kapott r

2 = i(r

x) összefüggést és a lineáris autokorrelációs függvényű modellt (r

2 — 2r

r— 1), akkor látható, hogy az első az felfelé, a második az lefelé tér el a lineáris autokorrelációs függvénytől. Az általunk vizsgált talajvízállás idősorok r

1 — r

2 összetartozó pontpárjai mind az r

t = és r

x — 2r

1

2 — 1 tartományon belül helyezkednek el, tehát az AR(2) modellek alkalmazhatók rájuk és 0

2 tényezőjük negatív. Továbbá arra az érdekes körülményre is felhívhatjuk a figyelmet, hogy a fentebbiekben elmondottak értelmében a 0

2 — 40

2

2 = 0 egyenlettel jellemzett görbétől jobbra, az AR(2) modell alkalmazási tartományáig a gyökök komplexek és így az idősor pszeudó periodikus tulajdonságokkal rendelkezik, ami a periodikus-elemzés szempontjából zavaró tényező. A 4. ábrán látható, hogy ez a helyzet áll elő, ha az r

x értéke 0,775-nél kisebb a Rétháti féle r

1 — r

2 kapcsolati görbe; illetve 0.725nél kisebb a lineáris autokorrelációs függvényű modell esetén. 4. Periódus vizsgálat Fourier-analízissel A periodikus komponensek elemzésére elterjedt módszer az autokorrelációs függvény vizsgálatán kívül a Fourier analízis, amikoris az idősort harmonikus sorokkal (sinus, cosinus) közelítjük. Kiszámítottuk a különböző T periódus hosszúságú harmonikus függvények súlyszámait: C(T)—t — a