Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)
4. szám - Szőllősi-Nagy András: A folytonos Nash-kaszkád adekvát diszkretizálása
158 Hidrológiai Közlöny 1983. 4. sz. Szöllősi-Nagy A.: A folytonos Nash-kaszkád alakú lineáris kapcsolat van (márpedig ekvidisztáns esetben ez mindig így van), ahol /t tetszőleges nem negatív valós szám, akkor az = ® (At*) x t+T(At*) u t (20) T a(/u) = -JfcJíCu-l) =e l (H-l)kAt [(/j.-l)kAt] 2 2T~ {(p-\)kAtY~ alsó háromszögmátrix, míg a T 2 (ji) transzformáció mátrix diagonál mátrix ( p!) — ^ -^21' • ' ' ' ^V" • • • ' T2 ahol a főátló elemei: T 2ir(i, kyAt) <P(A*)=T 1 (fi) r(At) R(ZIÍ*)=T 2 (n) r(At) (21a) (21b) modell átmeneti mátrixa/vektora a (10) diszkrét modell átmeneti mátrixával/vektorával a (23a) (23b) r(i, kAt) A fenti állítás egyszerű számolással (a kijelölt mátrixműveletek elvégzésével) belátható. Nyilvánvaló, hogy a transzformációs mátrixok függenek jU-től. A (21a) összefüggésből következik, hogy Ti (y)=® (At*) 01 (At) ami mindig létezik, lévén az állapotátmeneti mátrix — tetszőleges At-re — invertálható. Tehát: a folytonos dinamika bármely két diszkrét reprezentációja között a 2 (At) Tlifl )'^l £ D D lineáris transzformáció teremt kapcsolatot. Egy lineáris transzformáció pedig valójában a koordináta rendszer megváltoztatásának felel meg. Nyilvánvaló, hogy abban az esetben, amikor ^=1 a transzformáció identikus, T X = I és T 2 = I, a transzformációs mátrixok az egységmátrixszal egyeznek meg. Abban az esetben, amikor ju — 0, a diszkrét modell a folytonos modellhez tart és határértékben azzal azonos, Uß (O) = Se- Ez a határátmenetből rögvest következik. A különböző diszkrét kaszkád-modellek közötti lineáris kapcsolat gyakorlati szempontból azért különösen érdekes, mert lehetővé teszi, hogy amennyiben egy adott mintavételi intervallumhoz már rendelkezünk identifikált modellel, akkor a mintavételi intervallum megváltoztatása után nem kell az új modell paramétereit újólag becsülni, azok a „régi" paraméterek lineáris transzformációjával előállíthatók. Ezzel pedig tetemes számítási munka takarítható meg. Említésre méltó dualitás figyelhető meg az állapotátmeneti mátrix és bemen etátmeneti vektor között. Nevezetesen: amennyiben a At intervallumot változónak tekintjük, akkor a (13) állapotátmeneti mátrix első oszlopa növekvő rendszámú lineáris tározók lineáris transzformációkon keresztül van kapcsolatban, ahol aTj (/.<) transzformációs mátrix a 0 ... 0 1 ... 0 (jx — \ )kAt (22) [(//•— 1 )kAt}>> (ra-2)! impulzusválaszait tartalmazza, míg a (17) bemenetátmeneti vektor az átmeneti (tranziens) válaszokból áll. Ez a dualitás azonban nem váratlan meglepetés, lévén, hogy az említett oszlopvektorokra ugyanaz a differenciál/integrál reláció érvényes, mint a lineáris rendszerek impzulzus/átmeneti válaszaira (vagy másként: a pillanatnyi egységárhullámra/egységkarakterisztikára). Ez pedig az egységimpulzus (Dirac függvény) és az egységugrás-függvény közötti differenciál/integrál reláció kö vetkezménye. 5. Néhány további megjegyzés A levezetett diszkrét modell most már alkalmas formában áll rendelkezésre a digitális szűrés alkalmazásához. Az állapot-, és bemenetátmeneti mátrix/vektor ismeretében a hibák továbbterjedése, az eleddig alkalmazott szimuláció helyett, analitikusan számítható (off-line) a mátrix Riccati egyenlettel. Az állandósult hibastatisztikák is számíthatók, mint az említett mátrixdifferenciálegyenlet állandósult megoldása, csupán a modell paramétereinek és az előrejelzés időelőnyének függvényeként (Rózsa és Szöllősi-Nagy, 1981). Ily módon nemcsak a szűrési algoritmus kezdeti feltételei bizonytalanságának hatása mutatható ki, hanem a különböző mintavételi intervallumok választásáríak hatása az előrejelzési hiba terjedésére és az állandósult statisztikákra is számítható — bármiféle approximáció nélkül. (Elsőrendű közelítést javasolt például a közelmúltban Dettinger és Wilson, (1981) a bizonytalanságok elemzésére.) Amennyiben a mintavételi intervallumot a Nyquist-intervallumnak választjuk (Dyhr-Nielsen, 1972), akkor tetszőleges más intervallumhoz kapcsolódó bizonytalanság hatása — a különböző diszkrét modellek közötti lineáris összefüggés alkalmazásával — közvetlenül kiszámítható. A diszkrét modell kiterjeszthető az O'Connor (1975) által felvetett több bemenet figyelembevételére is. Az állapotátmeneti mátrix természetesen ebben az esetben is ugyanaz marad, míg a bemenetátmeneti mátrix (amely a több bemenet miatt valóban mátrix lesz és nem degenerálódik) oszlopai a (17) bemenetátmeneti vektor eltolásával kaphatók úgy, hogy e mátrix szerkezete hasonló az állapotátmeneti mátrix szerkezetéhez: a fő-, és mellékátlók azonos eleműek lesznek, melyek
