Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)
4. szám - Szőllősi-Nagy András: A folytonos Nash-kaszkád adekvát diszkretizálása
Szöllősi-Nagy A.: A folytonos Nash-kaszkád Hidrológiai Közlöny 1983. 4. sz. 159 ugyancsak a nem teljes és teljes gammafüggvények hányadosaiként fejezhetők ki. Az állapotátmeneti mátrix birtokában a folytonos és diszkrét modellek paraméterérzékenységi vizsgálata mintegy mellékeredményként adódik, lévén az érzékenységi rendszer szerkezete mindig azonos a vizsgált lineáris dinamikus rendszer struktúrájával. A témakör részletes kifejtése azonban túl megy a jelen tanulmány célkitűzésein, bár e kontextusban még megemlíthető a folytonos Nash-kaszkád érzékenységvizsgálatával foglalkozó McCuen (1973) cikk. 6. Következtetések A tanulmány a folytonos Nash-kaszkád diszkretizálását tárgyalta. Az állapottér módszer elveinek alkalmazása az alábbi következtetésekhez vezetett: 1. A folytonos Nash-kaszkád rendszermátrixa Toeplitz típusú. 2. A folytonos modell állapotátmeneti mátrixa alsó háromszög mátrix, melynek átlóiban azonos elemek állnak. A mátrix első oszlopa a növekvő rendszám szerint sorbakapcsolt lineáris tározók impulzusválasz-függvényeivel egyenesen arányos elemeket tartalmaz. 3. A diszkrét modell állapotátmeneti mátrixa a folytonos modelléből nyerhető és mindig invertálható. 4. A bemenetátmeneti vektor elemei növekvő rendű Poisson-eloszlásokból épülnek fel. 5. Az állapotátmeneti és bemenetátmeneti mátrixok (többváltozós esetben is) ugyanabban a relációban állnak egymással, mint az impulzus és átmeneti válaszfüggvények. 6. A folytonos Nash-kaszkád tetszőleges különböző diszkrét állapot-reprezentációi (melyek különböző mintavételi intervallumnak felelnek meg) egy lineáris transzformáción keresztül függenek össze. A mintavételi intervallum megváltoztätäSä ugyanaz, mint a diszkrét állapottér koordináta-rendszerének megváltoztatása. 7. Ha a mintavételi intervallum zérushoz tart, akkor a diszkrét állapot mode)l(ek) a folytonos Nash-kaszkádhoz tart(anak) és határértékben azzal azonos(ak). 8. A diszkrét állapotmodellek nemcsak diszkréten koincidensek a folytonos Nash-kaszkáddal, hanem figyelembe veszik a két szomszédos mintavételi időpont közötti dinamikus változásokat is.' Köszönetnyilvánítás A szerző őszinte köszönetét fejezi ki Ambrus Sándornak (V1TUKI) és ifj. Jan Szolgaynak (Szlovák Tudományos Akadémia Hidrológiai és Hidraulikai Intézete, Pozsony) a munka során folytatott ösztönző eszmecserékért. IRODALOM [1] Chao-Lin Ghiu (Ed.), (1978): Applications of Kaiman filter to hydrology, hydraulics and water resources, Univ. of Pittsburgh, USA. [2] Csáki F. (1973): Fejezetek a szabályozástechnikából-állapotegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest. [3] Dettinger, M. D. és Wilson, J. L., (1981): First order analysis of uncertainty in numerical models of groundwater flow, Part 1. Mathematical development, Water Resources Research, 17 (1): 149— 161. [4] Dyhr-Nielsen, M., (1972): Loss of information by discretizing hydrologic series, Hydrology Papers No. 54, Fort Collins, Col. [5] 1AHS, 1980: Hydrological Forecasting, Proceedings of the Oxford Symposium, IAHS^-AISH Publ.,No. 129. [6] Kalinyin, G. P. és Miljukov, P. I. (1958): Priblizsenyij raszeset nyeusztanovivsegoszja dvizsenyija vodnih masz, Trudi CIP, No. 66, Leningrád. [7] KlemeS, V. (1978): Physically based stochastic hydrologic analysis, in Advances in Hydroscience (Ed.: V. T. Chow), Vol. 11, Academic Press, New York. [8] Kontur I. (1977): A lefolyás általános lineáris modellje, Hidrológiai Közlöny, 9. sz. 404—412. [9] Mc Cuen, R. H. (1973): Thé role of sensitivity analysis in hydrologic modelling, J. Hydrol., 18: 37—53. [10] Moler, C. B. és Van Loan, D. (1978): Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix, SI AM Review, 20, 801—836. [11] Nash, J. E. (1957): The form of the instantaneous unit hydrograph, Proc. I ASH Assemblée Générale de Toronto, 3, 114—131. [12] O'Connor, K. M. (1975): Lineáris diszkrét hidrológiai kaszkádmodell, V ITU KI Tanulmányok és Kutatási Eredmények 47. szám, Bp. [13] Raudkivi, A. J.: (1969): Hydrology — an advanced introduction to hydrological processes and modelling, Pergamon Press, Oxford. [14] Rényi A. (1968): Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest. [15 1 Rózsa P. és Szöllösi-Nagy A. (1981): Analysis of the steady state filtering errors of the Nashcascade by means of the Riccati equation, publikálás alatt, az Applied Methematical Modellinghon. [16] Szöllösi-Nagy A. (1976): Introductory remarks on the state space modeling of water resourc systems, I IAS A Research Memorandum, 76 — 73, Laxenburg. [17] Szöllösi-Nagy A. (1979): A lefolyás jelenségének modellezése ós rövid távú előrejelzése Nasíi-féle kaszkádokkal, Hidrológiai Közlöny, 4. sz. 164— 175. [18] Szöllösi-Nagy A. (1981): State space models of the Nash-cascade, kinematic and diffusion waves, Research Report TU LEA 1981: 14, University of Lutea. [19] Wood, E. F. és Szöllösi-Nagy A. (Eds), (1980) : Real-time forecasting/Control of water resource systems, Pergamon Press, Oxford. FÜGGELÉKEK Fl. A lineáris állapotegyenlet megoldása Idő-invariáns lineáris folytonos rendszerek internális leírását egy elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer adja meg, melynek vektorálisalakja: x(0 = F(0x(0 + G(0u(0 (Fl—1) ahol x(t) au/, állapotváltozók n-dimenziós vektora, u(í) a bemeneti változók p-dimenziós vektora, F(0 az n*n-es rendszermátrix és G(í) az n*p méretű bemeneti mátrix. Az (FI—1) állapotegyenlet a bemeneteknek az állapotokra Vonatkozó hatását írja le. Az algebrai összefüggés, amely megadja az állapotok és kimenetek kapcsolatát az y(£) = H(£) x (0 (FI—2) kimeneti egyenlet, ahol y(t) a kimeneti változók m-dimenziós vektora és H(0 az m*n méretű kimeneti mátrix. Az (FI—1) állapotegyenlet megoldása elég egyszerűen kapható (lásd pl. Csáki; 1973, p. 253). A megoldás (az állapottrajektória egyenlete): t x(t) = &(t,t 0)x(t 0)+ / <P(t, r)G(r)u(r) ár (FI—3)
