Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)
4. szám - Szőllősi-Nagy András: A folytonos Nash-kaszkád adekvát diszkretizálása
Szöllősi-Nagy A.: A folytonos Nash-kaszkád Hidrológiai Közlöny 1983. 4. sz. 157 t-\-At—r helyen jobbról szorozzuk a (í vektorral, akkor eredményül a diszkrét állapotátmeneti mátrix első oszlopát kapjuk a t-\-At—r helyen, amelyeket (12) értelmében, x szerint kell integrálni a [t, t-\-At] intervallumon. Az integrálokat tartalmazó oszlopvektor i-edik eleme tehát: « +JÍ V i{At)= I IcltA-At-rY1 -Ht + jt-r) -e dr, («1)' i=l, 2, . . amely az x=k (t-\-At—r) helyettesítéssel kiszámítható. Eredményül a 1 T~ í i (i— 1)1 kAt f' 1 k (i—1)1 P(i, kAt) nem teljes gamma-függvényt kapjuk i-re és kAt-ra, mint független változókra vonatkozóan. Vegyük figyelembe még azt is, hogy egész értékekre (i—1 )\=P(i) amivel az i-edik helyen álló integrál értéke ^^I-TÍT''^ 1' 2 w (14 ) lesz. A fenti kifejezésben a nem teljes és teljes gammafüggvények hányadosa kifejezhető Poisson eloszlásokkal (Kényi, 1968, p. 118): f(i, kA t) ~ r(%)~ í- ^Pjirn) }=i ahol Pj(kAt)-1 • , ,. -kAt — kAt)'e V (15) (1(5) a kAt paraméterű j-ed rendű Poisson-eloszlás. Tehát, i— 1, 2 K-re a (14)-gyel számított ndimenziós bemenetátmeneti vektor az alábbi alakot ölti: P(At) = - kjl , (l-e )/k [l-e '"(l + kAt)/]k j=0 (17) y(t)=Hx, (18 mivel a (6) folytonos kimeneti egyenlet tisztán algebrai kifejezés az állapotvektor lineáris transzformációja. A folytonos modell szerkezetét egyértelműen jellemzi a 27<j=(F, («, H) mátrixhármas, míg a megfelelő diszkrét modellt a E D = (0. P, H) mátrixhármas rögzíti, szintén egyértelműen. Ismét hangsúlyozandó, hogy a diszkrét modell a mintavételi időpontokban koincidens a folytonos modellel és ugyanakkor tekintetbe veszi a folytonos rendszer dinamikája okozta, két mintavételi időpont közötti változást. Ez azt jelenti, hogy, bár a mintavételi intervallumban a bemenetet állandónak tételeztük fel, a rendszer dinamikus változásairól ugyanezt nem tesszük fel, azokat adekvátan figyelembe vesszük. Illusztratív péld Tekintsünk egy folytonos Nasi i - kaszkádot, amely négy azonos tározási tényezőjű elemi lineáris tározóból áll. Legyen K =3,2. Tehát n — 4 esetben a (3) folytonos állapotegyenlet: -0,31 0,00 0,00 0,00 1,00 0,31 -0,31 0,00 0,00 0,00 x(í) = 0,00 0,31 0,31 0,00 x(<) + 0,00 x(í) = 0,00 0,00 0,31 -0,31 x(<) + 0,00 u(t) Legyen a mintavételi intervallum az időegységgel (pl. óra) egyenlő, Jt — l. Ilyen választás mellett, a (13) ós (17) szerint számítva, a fenti folytonos modellnek megfelelő diszkrét modell állapotegyenlete a következő alakot ölti: 0,73 0,23 0,04 0,00 0,00 0,73 0,23 0,04 0,00 0,00 0,73 0,23 0,00 0,00 0,00 0,73 x,+ 0,87 0,14 0,02 0,02 ut 0,54 0,00 0,00 0,00 1,49 0,33 0,54 0,00 0,00 0,40 0,10 0,33 0,54 0,00 x< + 0,07 0,02 0,10 0,33 0,54 x< + 0,00 A (13) állapot-, és (17) bemenetátmeneti mátrix-, vektor ismerete egyértelműen specifikálja a (10) diszkrét állapotegyenletet. A diszkrét állapotegyenlethez. tartozó diszkrét kimeneti egyenlet ugyanaz marad, mint a folytonos esetben {Csáki, 1973, p. 307), vagyis Amennyiben új mintavételi intervallumot választunk, legyen ez pl. At* = 2 At, akkor a vonatkozó adekvát diszkrét modell az alábbi lesz : ut Megjegyzendő azonban, hogy a At* mintavételi intervallum nem szükségképpen kell a At egész számú többszöröse legyen. 4. Kapcsolat a folytonos Nash-kaszkád különböző diszkrét modelljei között A mintavételi intervallum megváltoztatása hasonló a koordináta rendszer megváltoztatásához. Feltéve, hogy a folytonos Nash-kaszkád 11 minta vételi intervallumhoz tartozó diszkrét modellje ismeretes, akkor tetszőleges más At* mintavételi intervallumhoz tartozó diszkrét modell egyértelműen meghatározható a At intervallumhoz tartozóból. Ha a mintavételi intervallumok között a At* =~ fi At, p^O (19)
